Nearby theorems
|
|
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > iccpartnel | Structured version Visualization version Unicode version | ||
| Description: A point of a partition is not an element of any open interval determined by the partition. Corresponds to fourierdlem12 40336 in GS's mathbox. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 8-Jul-2020.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| iccpartnel.m |
        |
| iccpartnel.p |
 RePart |
| iccpartnel.x |
  |
| Ref | Expression |
|---|---|
| iccpartnel |
![/\](wedge.gif "/\"){kind=small}
  ..^ 
   |
are
mutually distinct and distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | elioo3g 12204 |
. . 3
| |
| 2 | iccpartnel.x |
. . . . . . 7
| |
| 3 | iccpartnel.p |
. . . . . . . . 9
RePart | |
| 4 | iccpartnel.m |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 5 | iccpart 41352 |
. . . . . . . . . . 11
RePart
   ..^
| |
| 6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
RePart
..^
|
| 7 | elmapfn 7880 |
. . . . . . . . . . 11
 | |
| 8 | 7 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
..^ |
| 9 | 6, 8 | syl6bi 243 |
. . . . . . . . 9
RePart |
| 10 | 3, 9 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
|
| 11 | fvelrnb 6243 |
. . . . . . . 8
  | |
| 12 | 10, 11 | syl 17 |
. . . . . . 7
|
| 13 | 2, 12 | mpbid 222 |
. . . . . 6
|
| 14 | elfzelz 12342 |
. . . . . . . . . . . . 13
 | |
| 15 | 14 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . . 12
 |
| 16 | 15 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 17 | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
| |
| 18 | 17 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 19 | lelttric 10144 |
. . . . . . . . . . 11
 
| |
| 20 | 16, 18, 19 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 21 | breq2 4657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 22 | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 23 | 21, 22 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 24 | leloe 10124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 25 | 16, 18, 24 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 26 | 4, 3 | iccpartgt 41363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 27 | 26 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 28 | 27 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
..^
|
| 29 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 30 | elfzofz 12485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
..^
| |
| 31 | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 32 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
| |
| 33 | 32 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 34 | 31, 33 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 35 | breq2 4657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 36 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
| |
| 37 | 36 | breq2d 4665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 38 | 35, 37 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 39 | 34, 38 | rspc2v 3322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 40 | 29, 30, 39 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
..^
|
| 41 | 28, 40 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
..^
|
| 42 | pm3.35 611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 43 | 4 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 44 | 3 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
RePart |
| 45 | 43, 44, 29 | iccpartxr 41355 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 46 | 45 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
..^
|
| 47 | simp1 1061 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
| |
| 48 | xrltle 11982 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
| |
| 49 | 46, 47, 48 | syl2anr 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
..^
|
| 50 | xrlenlt 10103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
| |
| 51 | 46, 47, 50 | syl2anr 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
..^
|
| 52 | 49, 51 | sylibd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
..^
|
| 53 | 52 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
..^
|
| 54 | 53 | com13 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
..^
|
| 55 | 54 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
..^ |
| 56 | 55 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
..^
|
| 57 | 56 | pm2.21d 118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
..^
|
| 58 | 57 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
..^
|
| 59 | 58 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
..^
|
| 60 | 42, 59 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
..^
|
| 61 | 60 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
..^
|
| 62 | 61 | com13 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
..^
|
| 63 | 41, 62 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
..^
|
| 64 | 63 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
..^
|
| 65 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 66 | 65 | breq2d 4665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 67 | 66 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 68 | xrltnr 11953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 69 | 68 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 70 | 69 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 71 | 70 | pm2.21d 118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 72 | 67, 71 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 73 | 72 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 74 | 73 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
..^
|
| 75 | 64, 74 | jaoi 394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 76 | 75 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 77 | 25, 76 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 78 | 77 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 79 | 78 | com14 96 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 80 | 79 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 81 | 23, 80 | syl6bir 244 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 82 | 81 | com14 96 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
|
| 83 | 82 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 84 | 83 | impd 447 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 85 | 84 | com24 95 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 86 | 14 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 87 | zltp1le 11427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 88 | 17, 86, 87 | syl2anr 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 89 | 17 | peano2zd 11485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
..^
|
| 90 | 89 | zred 11482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 91 | leloe 10124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 92 | 90, 16, 91 | syl2anr 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 93 | 88, 92 | bitrd 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 94 | fzofzp1 12565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
..^
| |
| 95 | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 96 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 97 | 96 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 98 | 95, 97 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 99 | breq2 4657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 100 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 101 | 100 | breq2d 4665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 102 | 99, 101 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 103 | 98, 102 | rspc2v 3322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 104 | 94, 29, 103 | syl2anr 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
..^
|
| 105 | 28, 104 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
..^
|
| 106 | pm3.35 611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 107 | simp2 1062 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 108 | xrltnsym 11970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 109 | 46, 107, 108 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
..^
|
| 110 | 109 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
..^
|
| 111 | 110 | pm2.21d 118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
..^
|
| 112 | 111 | expcom 451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
..^
|
| 113 | 112 | expd 452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
..^
|
| 114 | 113 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
..^
|
| 115 | 114 | com14 96 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
..^
|
| 116 | 106, 115 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
..^
|
| 117 | 116 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
..^
|
| 118 | 117 | com13 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
..^
|
| 119 | 105, 118 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
..^
|
| 120 | 119 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 121 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 122 | 121 | breq2d 4665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 123 | 121 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 124 | 122, 123 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 125 | xrltnr 11953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 126 | 125 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 127 | 126 | pm2.21d 118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 128 | 127 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 129 | 128 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 130 | 124, 129 | syl6bir 244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 131 | 130 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 132 | 131 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
..^
|
| 133 | 120, 132 | jaoi 394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
..^
|
| 134 | 133 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
..^
|
| 135 | 93, 134 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
..^
|
| 136 | 135 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
..^
|
| 137 | 136 | com14 96 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
..^
|
| 138 | 23, 137 | syl6bir 244 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
..^
|
| 139 | 138 | com14 96 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
..^
|
| 140 | 139 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . 14
..^
|
| 141 | 140 | impd 447 |
. . . . . . . . . . . . 13
..^
|
| 142 | 141 | com24 95 |
. . . . . . . . . . . 12
..^
|
| 143 | 85, 142 | jaoi 394 |
. . . . . . . . . . 11
..^
|
| 144 | 143 | com12 32 |
. . . . . . . . . 10
..^
|
| 145 | 20, 144 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
..^
|
| 146 | 145 | ex 450 |
. . . . . . . 8
..^
|
| 147 | 146 | com23 86 |
. . . . . . 7
..^
|
| 148 | 147 | rexlimdva 3031 |
. . . . . 6
..^
|
| 149 | 13, 148 | mpd 15 |
. . . . 5
..^
|
| 150 | 149 | imp 445 |
. . . 4
..^
|
| 151 | 150 | com12 32 |
. . 3
..^
|
| 152 | 1, 151 | sylbi 207 |
. 2
..^
|
| 153 | ax-1 6 |
. 2
..^
| |
| 154 | 152, 153 | pm2.61i 176 |
1
..^
|
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wb 196 wo 383 wa 384 w3a 1037 wceq 1483 wcel 1990 wral 2912 wrex 2913 class class class wbr 4653
crn 5115
wfn 5883
cfv 5888
(class class class)co 6650 cmap 7857 cr 9935 cc0 9936 c1 9937 caddc 9939 cxr 10073 clt 10074 cle 10075 cn 11020 cz 11377 cioo 12175 cfz 12326 ..^cfzo 12465
RePartciccp 41349 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-ioo 12179 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-iccp 41350 |
| This theorem is referenced by: (None) |
| Copyright terms: Public domain | W3C validator |