Theorem fzofzp1 12565

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1	|- ( C e. ( A..^ B ) -> ( C + 1 ) e. ( A ... B ) )

Proof of Theorem fzofzp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 12468	. . . 4 |- ( C e. ( A..^ B ) -> A e. ZZ )
2		uzid 11702	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> A e. ( ZZ>= ` A ) )
3		peano2uz 11741	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
4		fzoss1 12495	. . . 4 |- ( ( A + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A + 1 )..^ ( B + 1 ) ) C_ ( A..^ ( B + 1 ) ) )
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 |- ( C e. ( A..^ B ) -> ( ( A + 1 )..^ ( B + 1 ) ) C_ ( A..^ ( B + 1 ) ) )
6		1z 11407	. . . 4 |- 1 e. ZZ
7		fzoaddel 12520	. . . 4 |- ( ( C e. ( A..^ B ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( C + 1 ) e. ( ( A + 1 )..^ ( B + 1 ) ) )
8	6, 7	mpan2 707	. . 3 |- ( C e. ( A..^ B ) -> ( C + 1 ) e. ( ( A + 1 )..^ ( B + 1 ) ) )
9	5, 8	sseldd 3604	. 2 |- ( C e. ( A..^ B ) -> ( C + 1 ) e. ( A..^ ( B + 1 ) ) )
10		elfzoel2 12469	. . 3 |- ( C e. ( A..^ B ) -> B e. ZZ )
11		fzval3 12536	. . 3 |- ( B e. ZZ -> ( A ... B ) = ( A..^ ( B + 1 ) ) )
12	10, 11	syl 17	. 2 |- ( C e. ( A..^ B ) -> ( A ... B ) = ( A..^ ( B + 1 ) ) )
13	9, 12	eleqtrrd 2704	1 |- ( C e. ( A..^ B ) -> ( C + 1 ) e. ( A ... B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  fzofzp1b  12566  seqcaopr3  12836  seqcaopr2  12837  seqf1olem2a  12839  swrds1  13451  swrds2  13685  telfsumo  14534  telfsumo2  14535  fsumparts  14538  prodfn0  14626  prodfrec  14627  psgnunilem2  17915  gsumzaddlem  18321  dvfsumle  23784  dvfsumge  23785  dvfsumabs  23786  dvntaylp  24125  taylthlem2  24128  pntlemr  25291  pntlemj  25292  uspgr2wlkeq  26542  wlkres  26567  wlkp1lem6  26575  pthdadjvtx  26626  upgrwlkdvdelem  26632  crctcshwlkn0lem4  26705  crctcshwlkn0lem5  26706  wwlksnred  26787  trlsegvdeglem1  27080  poimirlem24  33433  poimirlem25  33434  poimirlem29  33438  poimirlem31  33440  monoords  39511  fmul01  39812  dvnmptdivc  40153  dvnmul  40158  stoweidlem3  40220  fourierdlem1  40325  fourierdlem12  40336  fourierdlem14  40338  fourierdlem15  40339  fourierdlem20  40344  fourierdlem25  40349  fourierdlem27  40351  fourierdlem41  40365  fourierdlem46  40369  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem50  40373  fourierdlem54  40377  fourierdlem63  40386  fourierdlem64  40387  fourierdlem65  40388  fourierdlem69  40392  fourierdlem70  40393  fourierdlem71  40394  fourierdlem72  40395  fourierdlem73  40396  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem79  40402  fourierdlem80  40403  fourierdlem81  40404  fourierdlem84  40407  fourierdlem88  40411  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  fourierdlem92  40415  fourierdlem93  40416  fourierdlem94  40417  fourierdlem97  40420  fourierdlem101  40424  fourierdlem102  40425  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem111  40434  fourierdlem113  40436  fourierdlem114  40437  fzopred  41332  iccpartipre  41357  iccelpart  41369  iccpartiun  41370  icceuelpartlem  41371  icceuelpart  41372  iccpartdisj  41373  iccpartnel  41374  bgoldbtbndlem2  41694  bgoldbtbndlem3  41695