Theorem ubicc2 12289

Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ubicc2	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. ( A [,] B ) )

Proof of Theorem ubicc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. RR* )
2		simp3 1063	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> A <_ B )
3		xrleid 11983	. . 3 |- ( B e. RR* -> B <_ B )
4	3	3ad2ant2 1083	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B <_ B )
5		elicc1 12219	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B e. ( A [,] B ) <-> ( B e. RR* /\ A <_ B /\ B <_ B ) ) )
6	5	3adant3 1081	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( B e. ( A [,] B ) <-> ( B e. RR* /\ A <_ B /\ B <_ B ) ) )
7	1, 2, 4, 6	mpbir3and 1245	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> B e. ( A [,] B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  xnn0xrge0  12325  iccpnfcnv  22743  oprpiece1res2  22751  ivthlem2  23221  ivth2  23224  ivthle  23225  ivthle2  23226  dyadmaxlem  23365  cmvth  23754  mvth  23755  dvlip  23756  c1liplem1  23759  dvgt0lem1  23765  lhop1lem  23776  dvcnvrelem1  23780  dvcvx  23783  dvfsumle  23784  dvfsumge  23785  dvfsumabs  23786  dvfsumlem2  23790  ftc2  23807  ftc2ditglem  23808  itgparts  23810  itgsubstlem  23811  efcvx  24203  pige3  24269  logccv  24409  loglesqrt  24499  pntlem3  25298  eliccioo  29639  xrge0iifcnv  29979  lmxrge0  29998  esumpinfval  30135  hashf2  30146  esumcvg  30148  ftc2re  30676  cvmliftlem7  31273  cvmliftlem10  31276  ivthALT  32330  ftc2nc  33494  areacirc  33505  itgpowd  37800  iccintsng  39749  pnfel0pnf  39754  limcicciooub  39869  icccncfext  40100  dvbdfbdioolem1  40143  itgsin0pilem1  40165  itgcoscmulx  40185  itgsincmulx  40190  itgsubsticc  40192  fourierdlem20  40344  fourierdlem54  40377  fourierdlem64  40387  fourierdlem81  40404  fourierdlem102  40425  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem114  40437  etransclem46  40497