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| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > elfznelfzo | Structured version Visualization version Unicode version | ||
| Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| elfznelfzo |
        ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
 ..^    |
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | elfz2nn0 12431 |
. . 3
 | |
| 2 | nn0z 11400 |
. . . . . . . 8
 | |
| 3 | nn0z 11400 |
. . . . . . . 8
| |
| 4 | 2, 3 | anim12i 590 |
. . . . . . 7
|
| 5 | 4 | 3adant3 1081 |
. . . . . 6
|
| 6 | elfzom1b 12567 |
. . . . . 6
..^
 ..^ | |
| 7 | 5, 6 | syl 17 |
. . . . 5
..^
..^ |
| 8 | 7 | notbid 308 |
. . . 4
..^
..^ |
| 9 | elfzo0 12508 |
. . . . . . 7
..^
  | |
| 10 | 9 | a1i 11 |
. . . . . 6
..^
|
| 11 | 10 | notbid 308 |
. . . . 5
..^
|
| 12 | 3ianor 1055 |
. . . . . . 7
| |
| 13 | elnnne0 11306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 | |
| 14 | df-ne 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 15 | 14 | anbi2i 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 16 | 13, 15 | bitr2i 265 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 17 | nnm1nn0 11334 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 18 | 16, 17 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 19 | 18 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 20 | 19 | con1d 139 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 21 | 20 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 22 | 21 | orcd 407 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 23 | 22 | ex 450 |
. . . . . . . . . 10
|
| 24 | 23 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . 9
|
| 25 | 24 | com12 32 |
. . . . . . . 8
|
| 26 | ioran 511 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 27 | nn1m1nn 11040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 28 | df-ne 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 29 | nn0re 11301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
 | |
| 30 | 29 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 31 | nn0re 11301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
| |
| 32 | 31 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 33 | 32 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 34 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 35 | 30, 33, 34 | leltned 10190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 36 | necom 2847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
| |
| 37 | 35, 36 | syl6rbbr 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 38 | 37 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 39 | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
| |
| 40 | 39 | biimpa 501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 41 | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
| |
| 42 | 41, 32, 41 | ltsub1d 10636 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 43 | 1m1e0 11089 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 44 | 43 | breq1i 4660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 45 | 1zzd 11408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
| |
| 46 | 3, 45 | zsubcld 11487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
|
| 47 | 46 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
|
| 48 | 47 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 49 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
| |
| 50 | elnnz 11387 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
| |
| 51 | 48, 49, 50 | sylanbrc 698 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 52 | 51 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 53 | 44, 52 | syl5bi 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 54 | 42, 53 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 55 | 40, 54 | syl5 34 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 56 | 55 | expd 452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 57 | 56 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 58 | 57 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 59 | 38, 58 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 60 | 59 | exp31 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 61 | 60 | com14 96 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 62 | 28, 61 | sylbir 225 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 63 | 62 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 64 | 63 | com14 96 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 65 | 64 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 66 | 65 | com14 96 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 67 | 66 | com13 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 68 | 29 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 69 | 31 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 70 | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
| |
| 71 | 68, 69, 70 | lesub1d 10634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 72 | 3 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 73 | 1zzd 11408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
| |
| 74 | 72, 73 | zsubcld 11487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 75 | nngt0 11049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
| |
| 76 | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
| |
| 77 | peano2rem 10348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 78 | 29, 77 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 79 | 78 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 80 | peano2rem 10348 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 81 | 31, 80 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 82 | 81 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 83 | ltletr 10129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
| |
| 84 | 76, 79, 82, 83 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 85 | 84 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 86 | 85 | com13 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 87 | 86 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 88 | 87 | com24 95 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 89 | 75, 88 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 90 | 89 | imp41 619 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 91 | 74, 90, 50 | sylanbrc 698 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 92 | 91 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 93 | 92 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 94 | 71, 93 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 95 | 94 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 96 | 95 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 97 | 96 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 98 | 67, 97 | jaoi 394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 99 | 27, 98 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 100 | 13, 99 | sylbir 225 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 101 | 100 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 102 | 101 | pm2.43a 54 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 103 | 102 | com24 95 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 104 | 103 | 3imp 1256 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 105 | 104 | com3l 89 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 106 | 14, 105 | sylbir 225 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 107 | 106 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 108 | 26, 107 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 109 | 108 | com12 32 |
. . . . . . . . . 10
|
| 110 | 109 | con1d 139 |
. . . . . . . . 9
|
| 111 | 110 | com12 32 |
. . . . . . . 8
|
| 112 | 29 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 113 | 31 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 114 | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 115 | 112, 113, 114 | 3jca 1242 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 116 | 115 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 117 | ltsub1 10524 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 118 | 116, 117 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 119 | 118 | bicomd 213 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 120 | 119 | notbid 308 |
. . . . . . . . . 10
|
| 121 | eqlelt 10125 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 122 | 29, 31, 121 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 123 | 122 | biimpar 502 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 124 | 123 | olcd 408 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 125 | 124 | exp43 640 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 126 | 125 | 3imp 1256 |
. . . . . . . . . 10
|
| 127 | 120, 126 | sylbid 230 |
. . . . . . . . 9
|
| 128 | 127 | com12 32 |
. . . . . . . 8
|
| 129 | 25, 111, 128 | 3jaoi 1391 |
. . . . . . 7
|
| 130 | 12, 129 | sylbi 207 |
. . . . . 6
|
| 131 | 130 | com12 32 |
. . . . 5
|
| 132 | 11, 131 | sylbid 230 |
. . . 4
..^
|
| 133 | 8, 132 | sylbid 230 |
. . 3
..^ |
| 134 | 1, 133 | sylbi 207 |
. 2
..^ |
| 135 | 134 | imp 445 |
1
..^ |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wb 196 wo 383 wa 384 w3o 1036 w3a 1037 wceq 1483 wcel 1990 wne 2794 class class class wbr 4653
(class class class)co 6650 cr 9935 cc0 9936 c1 9937 clt 10074 cle 10075 cmin 10266 cn 11020 cn0 11292 cz 11377 cfz 12326 ..^cfzo 12465 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 |
| This theorem is referenced by: elfznelfzob 12574 injresinjlem 12588 |
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