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Theorem iscau3 23076
Description: Express the Cauchy sequence property in the more conventional three-quantifier form. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
iscau3.3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
iscau3.4 |- ( ph -> M e. ZZ )
Assertion
Ref Expression
iscau3 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) ) )
Distinct variable groups:   j, k, m, x, D   j, F, k, m, x   ph, j, k, x   j, X, k, m, x   j, M   j, Z, k, x
Allowed substitution hints:   ph( m)   M( x, k, m)   Z( m)
Proof of Theorem iscau3
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . 3 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
2 iscau2 23075 . . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
31, 2syl 17 . 2 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) ) )
41adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5 ssid 3624 . . . . . . 7 |- ZZ C_ ZZ
6 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) -> ( F ` k ) e. X )
7 eleq1 2689 . . . . . . 7 |- ( ( F ` k ) = ( F ` j ) -> ( ( F ` k ) e. X <-> ( F ` j ) e. X ) )
8 eleq1 2689 . . . . . . 7 |- ( ( F ` k ) = ( F ` m ) -> ( ( F ` k ) e. X <-> ( F ` m ) e. X ) )
9 xmetsym 22152 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` j ) e. X /\ ( F ` k ) e. X ) -> ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) = ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) )
109fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` j ) e. X /\ ( F ` k ) e. X ) -> ( _I ` ( ( F ` j ) D ( F ` k ) ) ) = ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) )
11 xmetsym 22152 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` m ) e. X /\ ( F ` j ) e. X ) -> ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) )
1211fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` m ) e. X /\ ( F ` j ) e. X ) -> ( _I ` ( ( F ` m ) D ( F ` j ) ) ) = ( _I ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
13 simp1 1061 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
14 simp2l 1087 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( F ` k ) e. X )
15 simp3l 1089 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( F ` j ) e. X )
16 xmetcl 22136 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( F ` j ) e. X ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) e. RR* )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) e. RR* )
18 simp2r 1088 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( F ` m ) e. X )
19 xmetcl 22136 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` j ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) -> ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) e. RR* )
2013, 15, 18, 19syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) e. RR* )
21 simp3r 1090 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> x e. RR )
2221rehalfcld 11279 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( x / 2 ) e. RR )
2322rexrd 10089 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( x / 2 ) e. RR* )
24 xlt2add 12090 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) e. RR* /\ ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) e. RR* ) /\ ( ( x / 2 ) e. RR* /\ ( x / 2 ) e. RR* ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( x / 2 ) /\ ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( ( x / 2 ) +e ( x / 2 ) ) ) )
2517, 20, 23, 23, 24syl22anc 1327 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( x / 2 ) /\ ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( ( x / 2 ) +e ( x / 2 ) ) ) )
26 rexadd 12063 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x / 2 ) e. RR /\ ( x / 2 ) e. RR ) -> ( ( x / 2 ) +e ( x / 2 ) ) = ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) )
2722, 22, 26syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( x / 2 ) +e ( x / 2 ) ) = ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) )
2821recnd 10068 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> x e. CC )
29282halvesd 11278 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( x / 2 ) + ( x / 2 ) ) = x )
3027, 29eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( x / 2 ) +e ( x / 2 ) ) = x )
3130breq2d 4665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( ( x / 2 ) +e ( x / 2 ) ) <-> ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
32 xmettri 22156 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X /\ ( F ` j ) e. X ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) <_ ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
3313, 14, 18, 15, 32syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) <_ ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) )
34 xmetcl 22136 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) e. RR* )
3513, 14, 18, 34syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) e. RR* )
3617, 20xaddcld 12131 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) e. RR* )
3721rexrd 10089 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> x e. RR* )
38 xrlelttr 11987 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) e. RR* /\ ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) <_ ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) /\ ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) <_ ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) /\ ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
4033, 39mpand 711 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < x -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
4131, 40sylbid 230 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) +e ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( ( x / 2 ) +e ( x / 2 ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
4225, 41syld 47 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( x / 2 ) /\ ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
43 ovex 6678 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) e. _V
44 fvi 6255 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) e. _V -> ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) = ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) = ( ( F ` k ) D ( F ` j ) )
4645breq1i 4660 . . . . . . . . 9 |- ( ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( x / 2 ) )
47 ovex 6678 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) e. _V
48 fvi 6255 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) e. _V -> ( _I ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- ( _I ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) = ( ( F ` j ) D ( F ` m ) )
5049breq1i 4660 . . . . . . . . 9 |- ( ( _I ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) <-> ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < ( x / 2 ) )
5146, 50anbi12i 733 . . . . . . . 8 |- ( ( ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( _I ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) <-> ( ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < ( x / 2 ) /\ ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) < ( x / 2 ) ) )
52 ovex 6678 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) e. _V
53 fvi 6255 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) e. _V -> ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) = ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) = ( ( F ` k ) D ( F ` m ) )
5554breq1i 4660 . . . . . . . 8 |- ( ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x )
5642, 51, 553imtr4g 285 . . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( ( F ` k ) e. X /\ ( F ` m ) e. X ) /\ ( ( F ` j ) e. X /\ x e. RR ) ) -> ( ( ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < ( x / 2 ) /\ ( _I ` ( ( F ` j ) D ( F ` m ) ) ) < ( x / 2 ) ) -> ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) )
575, 6, 7, 8, 10, 12, 56cau3lem 14094 . . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
584, 57syl 17 . . . . 5 |- ( ( ph /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) ) )
5945breq1i 4660 . . . . . . . . . 10 |- ( ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x <-> ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x )
6059anbi2i 730 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
61 df-3an 1039 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
6260, 61bitr4i 267 . . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
6362ralbii 2980 . . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
6463rexbii 3041 . . . . . 6 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
6564ralbii 2980 . . . . 5 |- ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) )
6655ralbii 2980 . . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x <-> A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x )
6766anbi2i 730 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) <-> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
68 df-3an 1039 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
6967, 68bitr4i 267 . . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) <-> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
7069ralbii 2980 . . . . . . 7 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
7170rexbii 3041 . . . . . 6 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
7271ralbii 2980 . . . . 5 |- ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X ) /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( _I ` ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) )
7358, 65, 723bitr3g 302 . . . 4 |- ( ( ph /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
74 iscau3.4 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
7574adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> M e. ZZ )
76 iscau3.2 . . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
7776rexuz3 14088 . . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
7875, 77syl 17 . . . . 5 |- ( ( ph /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
7978ralbidv 2986 . . . 4 |- ( ( ph /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
8073, 79bitr4d 271 . . 3 |- ( ( ph /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) )
8180pm5.32da 673 . 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` j ) ) < x ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) ) )
823, 81bitrd 268 1 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. x e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. m e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   _I cid 5023   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   +ecxad 11944   *Metcxmt 19731   Caucca 23051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-cau 23054
This theorem is referenced by:  iscau4  23077  caucfil  23081  cmetcaulem  23086  heibor1lem  33608
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