Theorem cmetcaulem 23086

Description: Lemma for cmetcau 23087. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmetcau.1	|- J = ( MetOpen ` D )
cmetcau.3	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
cmetcau.4	|- ( ph -> P e. X )
cmetcau.5	|- ( ph -> F e. ( Cau ` D ) )
cmetcau.6	|- G = ( x e. NN |-> if ( x e. dom F , ( F ` x ) , P ) )

Assertion

Ref	Expression
cmetcaulem	|- ( ph -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )

Distinct variable groups:   x, D   x, F   x, P   x, J   ph, x   x, X

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem cmetcaulem

Dummy variables j k m w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetcau.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
2		cmetmet 23084	. . . . . . . . 9 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
4		metxmet 22139	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
6		cmetcau.1	. . . . . . . 8 |- J = ( MetOpen ` D )
7	6	mopntopon 22244	. . . . . . 7 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. (TopOn ` X ) )
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
9		1z 11407	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
10		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11	10	uzfbas 21702	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( ZZ>= " NN ) e. ( fBas ` NN ) )
12	9, 11	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ZZ>= " NN ) e. ( fBas ` NN ) )
13		fgcl 21682	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= " NN ) e. ( fBas ` NN ) -> ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) e. ( Fil ` NN ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) e. ( Fil ` NN ) )
15		elfvdm 6220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> X e. dom CMet )
16	1, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. dom CMet )
17		cnex 10017	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> CC e. _V )
19		cmetcau.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F e. ( Cau ` D ) )
20		caufpm 23080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Cau ` D ) ) -> F e. ( X ^pm CC ) )
21	5, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ( X ^pm CC ) )
22		elpm2g 7874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. dom CMet /\ CC e. _V ) -> ( F e. ( X ^pm CC ) <-> ( F : dom F --> X /\ dom F C_ CC ) ) )
23	22	simprbda 653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. dom CMet /\ CC e. _V ) /\ F e. ( X ^pm CC ) ) -> F : dom F --> X )
24	16, 18, 21, 23	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : dom F --> X )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> F : dom F --> X )
26	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ x e. dom F ) -> ( F ` x ) e. X )
27		cmetcau.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P e. X )
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. NN ) /\ -. x e. dom F ) -> P e. X )
29	26, 28	ifclda 4120	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. NN ) -> if ( x e. dom F , ( F ` x ) , P ) e. X )
30		cmetcau.6	. . . . . . 7 |- G = ( x e. NN |-> if ( x e. dom F , ( F ` x ) , P ) )
31	29, 30	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> G : NN --> X )
32		flfval 21794	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) e. ( Fil ` NN ) /\ G : NN --> X ) -> ( ( J fLimf ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ` G ) = ( J fLim ( ( X FilMap G ) ` ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ) )
33	8, 14, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( J fLimf ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ` G ) = ( J fLim ( ( X FilMap G ) ` ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ) )
34		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) = ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) )
35	34	fmfg 21753	. . . . . . 7 |- ( ( X e. dom CMet /\ ( ZZ>= " NN ) e. ( fBas ` NN ) /\ G : NN --> X ) -> ( ( X FilMap G ) ` ( ZZ>= " NN ) ) = ( ( X FilMap G ) ` ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) )
36	16, 12, 31, 35	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X FilMap G ) ` ( ZZ>= " NN ) ) = ( ( X FilMap G ) ` ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) )
37	36	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( J fLim ( ( X FilMap G ) ` ( ZZ>= " NN ) ) ) = ( J fLim ( ( X FilMap G ) ` ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ) )
38	33, 37	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> ( ( J fLimf ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ` G ) = ( J fLim ( ( X FilMap G ) ` ( ZZ>= " NN ) ) ) )
39		1rp 11836	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
40		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
41	10, 5, 40	iscau3 23076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. w e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` w ) ) < z ) ) ) )
42	41	simplbda 654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ F e. ( Cau ` D ) ) -> A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. w e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` w ) ) < z ) )
43	19, 42	mpdan 702	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. w e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` w ) ) < z ) )
44		simp1 1061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. w e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` w ) ) < z ) -> k e. dom F )
45	44	ralimi 2952	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. w e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` w ) ) < z ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F )
46	45	reximi 3011	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. w e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` w ) ) < z ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F )
47	46	ralimi 2952	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ A. w e. ( ZZ>= ` k ) ( ( F ` k ) D ( F ` w ) ) < z ) -> A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F )
48	43, 47	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F )
49		biidd 252	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F ) )
50	49	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. RR+ -> ( A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F ) )
51	39, 48, 50	mpsyl 68	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F )
52		dfss3 3592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ>= ` j ) C_ dom F <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F )
53		nnsscn 11025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN C_ CC
54	31, 53	jctir 561	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G : NN --> X /\ NN C_ CC ) )
55		elpm2r 7875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. dom CMet /\ CC e. _V ) /\ ( G : NN --> X /\ NN C_ CC ) ) -> G e. ( X ^pm CC ) )
56	16, 18, 54, 55	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. ( X ^pm CC ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> G e. ( X ^pm CC ) )
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` j ) = ( ZZ>= ` j )
59	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
60		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
61	60	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> j e. ZZ )
62		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
63		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( F ` m ) = ( F ` m ) )
64	58, 59, 61, 62, 63	iscau4 23077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> ( F e. ( Cau ` D ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ A. z e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) ) ) )
65	64	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ F e. ( Cau ` D ) ) -> A. z e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) )
66	19, 65	mpidan 704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> A. z e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) )
67		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> j e. NN )
68		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. NN )
69	67, 68	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. NN )
70		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> k e. NN )
71	30, 29	dmmptd 6024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> dom G = NN )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> dom G = NN )
73	72	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> ( k e. dom G <-> k e. NN ) )
74	73	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ k e. NN ) -> k e. dom G )
75	74	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ k e. NN ) -> ( k e. dom F -> k e. dom G ) )
76		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` k ) e. X -> ( F ` k ) e. X ) )
77		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z -> ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) )
78	75, 76, 77	3anim123d 1406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) -> ( k e. dom G /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) ) )
79	70, 78	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ ( m e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) -> ( k e. dom G /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) ) )
80	79	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) -> ( k e. dom G /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) ) )
81	80	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ m e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) -> A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom G /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) ) )
82	69, 81	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) -> A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom G /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) ) )
83	82	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> ( E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) -> E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom G /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) ) )
84	83	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> ( A. z e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) -> A. z e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom G /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) ) )
85	66, 84	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> A. z e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom G /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) )
86		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
87	67, 86	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
88		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> ( ZZ>= ` j ) C_ dom F )
89	88	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. dom F )
90		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. dom F -> if ( k e. dom F , ( F ` k ) , P ) = ( F ` k ) )
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ k e. dom F ) -> if ( k e. dom F , ( F ` k ) , P ) = ( F ` k ) )
92		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F ` k ) e. _V
93	91, 92	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ k e. dom F ) -> if ( k e. dom F , ( F ` k ) , P ) e. _V )
94		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = k -> ( x e. dom F <-> k e. dom F ) )
95		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
96	94, 95	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> if ( x e. dom F , ( F ` x ) , P ) = if ( k e. dom F , ( F ` k ) , P ) )
97	96, 30	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. NN /\ if ( k e. dom F , ( F ` k ) , P ) e. _V ) -> ( G ` k ) = if ( k e. dom F , ( F ` k ) , P ) )
98	93, 97	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ k e. dom F ) -> ( G ` k ) = if ( k e. dom F , ( F ` k ) , P ) )
99	98, 91	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN /\ k e. dom F ) -> ( G ` k ) = ( F ` k ) )
100	87, 89, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` k ) = ( F ` k ) )
101	88	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. dom F )
102	69, 101	elind 3798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. ( NN i^i dom F ) )
103		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( G ` k ) = ( G ` m ) )
104		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
105	103, 104	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( ( G ` k ) = ( F ` k ) <-> ( G ` m ) = ( F ` m ) ) )
106		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( NN i^i dom F ) <-> ( k e. NN /\ k e. dom F ) )
107	106, 99	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( NN i^i dom F ) -> ( G ` k ) = ( F ` k ) )
108	105, 107	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( NN i^i dom F ) -> ( G ` m ) = ( F ` m ) )
109	102, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` m ) = ( F ` m ) )
110	58, 59, 61, 100, 109	iscau4 23077	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> ( G e. ( Cau ` D ) <-> ( G e. ( X ^pm CC ) /\ A. z e. RR+ E. m e. ( ZZ>= ` j ) A. k e. ( ZZ>= ` m ) ( k e. dom G /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D ( F ` m ) ) < z ) ) ) )
111	57, 85, 110	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ ( ZZ>= ` j ) C_ dom F ) ) -> G e. ( Cau ` D ) )
112	111	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ZZ>= ` j ) C_ dom F -> G e. ( Cau ` D ) ) )
113	52, 112	syl5bir 233	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F -> G e. ( Cau ` D ) ) )
114	113	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F -> G e. ( Cau ` D ) ) )
115	51, 114	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( Cau ` D ) )
116		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( X FilMap G ) ` ( ZZ>= " NN ) ) = ( ( X FilMap G ) ` ( ZZ>= " NN ) )
117	10, 116	caucfil 23081	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. ZZ /\ G : NN --> X ) -> ( G e. ( Cau ` D ) <-> ( ( X FilMap G ) ` ( ZZ>= " NN ) ) e. (CauFil ` D ) ) )
118	5, 40, 31, 117	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G e. ( Cau ` D ) <-> ( ( X FilMap G ) ` ( ZZ>= " NN ) ) e. (CauFil ` D ) ) )
119	115, 118	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( X FilMap G ) ` ( ZZ>= " NN ) ) e. (CauFil ` D ) )
120	6	cmetcvg 23083	. . . . 5 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ ( ( X FilMap G ) ` ( ZZ>= " NN ) ) e. (CauFil ` D ) ) -> ( J fLim ( ( X FilMap G ) ` ( ZZ>= " NN ) ) ) =/= (/) )
121	1, 119, 120	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( J fLim ( ( X FilMap G ) ` ( ZZ>= " NN ) ) ) =/= (/) )
122	38, 121	eqnetrd 2861	. . 3 |- ( ph -> ( ( J fLimf ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ` G ) =/= (/) )
123		n0 3931	. . 3 |- ( ( ( J fLimf ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ` G ) =/= (/) <-> E. y y e. ( ( J fLimf ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ` G ) )
124	122, 123	sylib 208	. 2 |- ( ph -> E. y y e. ( ( J fLimf ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ` G ) )
125	10, 34	lmflf 21809	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ 1 e. ZZ /\ G : NN --> X ) -> ( G ( ~~> t ` J ) y <-> y e. ( ( J fLimf ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ` G ) ) )
126	8, 40, 31, 125	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( G ( ~~> t ` J ) y <-> y e. ( ( J fLimf ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ` G ) ) )
127	21	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ G ( ~~> t ` J ) y ) -> F e. ( X ^pm CC ) )
128		lmcl 21101	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ G ( ~~> t ` J ) y ) -> y e. X )
129	8, 128	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ G ( ~~> t ` J ) y ) -> y e. X )
130	6, 5, 10, 40	lmmbr3 23058	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ( ~~> t ` J ) y <-> ( G e. ( X ^pm CC ) /\ y e. X /\ A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) ) )
131	130	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ G ( ~~> t ` J ) y ) -> ( G e. ( X ^pm CC ) /\ y e. X /\ A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) )
132	131	simp3d 1075	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ G ( ~~> t ` J ) y ) -> A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) )
133		r19.26 3064	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) <-> ( A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F /\ A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) )
134	10	rexanuz2 14089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) <-> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) )
135		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) ) -> k e. dom F )
136	99	ad2ant2lr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) ) -> ( G ` k ) = ( F ` k ) )
137		simprr2 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) ) -> ( G ` k ) e. X )
138	136, 137	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) ) -> ( F ` k ) e. X )
139	136	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) ) -> ( ( G ` k ) D y ) = ( ( F ` k ) D y ) )
140		simprr3 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) ) -> ( ( G ` k ) D y ) < z )
141	139, 140	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) ) -> ( ( F ` k ) D y ) < z )
142	135, 138, 141	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) )
143	142	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) ) )
144	86, 143	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) ) )
145	144	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) -> ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) ) )
146	145	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) ) )
147	146	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) ) )
148	134, 147	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) ) )
149	148	ralimdv 2963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. z e. RR+ ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) -> A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) ) )
150	133, 149	syl5bir 233	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) k e. dom F /\ A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) ) -> A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) ) )
151	48, 150	mpand 711	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) -> A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) ) )
152	151	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ G ( ~~> t ` J ) y ) -> ( A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom G /\ ( G ` k ) e. X /\ ( ( G ` k ) D y ) < z ) -> A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) ) )
153	132, 152	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ G ( ~~> t ` J ) y ) -> A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) )
154	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ G ( ~~> t ` J ) y ) -> D e. ( *Met ` X ) )
155		1zzd 11408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ G ( ~~> t ` J ) y ) -> 1 e. ZZ )
156	6, 154, 10, 155	lmmbr3 23058	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ G ( ~~> t ` J ) y ) -> ( F ( ~~> t ` J ) y <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ y e. X /\ A. z e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. X /\ ( ( F ` k ) D y ) < z ) ) ) )
157	127, 129, 153, 156	mpbir3and 1245	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ G ( ~~> t ` J ) y ) -> F ( ~~> t ` J ) y )
158		lmrel 21034	. . . . . . 7 |- Rel ( ~~> t ` J )
159	158	releldmi 5362	. . . . . 6 |- ( F ( ~~> t ` J ) y -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )
160	157, 159	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ G ( ~~> t ` J ) y ) -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )
161	160	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( G ( ~~> t ` J ) y -> F e. dom ( ~~> t ` J ) ) )
162	126, 161	sylbird 250	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( ( J fLimf ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ` G ) -> F e. dom ( ~~> t ` J ) ) )
163	162	exlimdv 1861	. 2 |- ( ph -> ( E. y y e. ( ( J fLimf ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ` G ) -> F e. dom ( ~~> t ` J ) ) )
164	124, 163	mpd 15	1 |- ( ph -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   1c1 9937   < clt 10074   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   MetOpencmopn 19736  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030   Filcfil 21649   FilMap cfm 21737   fLim cflim 21738   fLimf cflf 21739  CauFilccfil 23050   Caucca 23051   CMetcms 23052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-lm 21033  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055

This theorem is referenced by:  cmetcau  23087