MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issstrmgm Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem issstrmgm 17252
Description: Characterize a substructure as submagma by closure properties. (Contributed by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issstrmgm.b |- B = ( Base ` G )
issstrmgm.p |- .+ = ( +g ` G )
issstrmgm.h |- H = ( G ↾s S )
Assertion
Ref Expression
issstrmgm |- ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> ( H e. Mgm <-> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )
Distinct variable groups:   x, B, y   x, H, y   x, S, y   x, V, y
Allowed substitution hints:   .+ ( x, y)   G( x, y)
Proof of Theorem issstrmgm
StepHypRef Expression
1 simplr 792 . . . . 5 |- ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> H e. Mgm )
2 simplr 792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> S C_ B )
3 issstrmgm.h . . . . . . . . . . 11 |- H = ( G ↾s S )
4 issstrmgm.b . . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` G )
53, 4ressbas2 15931 . . . . . . . . . 10 |- ( S C_ B -> S = ( Base ` H ) )
62, 5syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> S = ( Base ` H ) )
76eleq2d 2687 . . . . . . . 8 |- ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> ( x e. S <-> x e. ( Base ` H ) ) )
87biimpcd 239 . . . . . . 7 |- ( x e. S -> ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> x e. ( Base ` H ) ) )
98adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> x e. ( Base ` H ) ) )
109impcom 446 . . . . 5 |- ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. ( Base ` H ) )
116eleq2d 2687 . . . . . . . 8 |- ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> ( y e. S <-> y e. ( Base ` H ) ) )
1211biimpcd 239 . . . . . . 7 |- ( y e. S -> ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> y e. ( Base ` H ) ) )
1312adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> y e. ( Base ` H ) ) )
1413impcom 446 . . . . 5 |- ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. ( Base ` H ) )
15 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
16 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
1715, 16mgmcl 17245 . . . . 5 |- ( ( H e. Mgm /\ x e. ( Base ` H ) /\ y e. ( Base ` H ) ) -> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
181, 10, 14, 17syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
19 fvex 6201 . . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) e. _V
204, 19eqeltri 2697 . . . . . . . . 9 |- B e. _V
2120ssex 4802 . . . . . . . 8 |- ( S C_ B -> S e. _V )
2221adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> S e. _V )
23 issstrmgm.p . . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
243, 23ressplusg 15993 . . . . . . 7 |- ( S e. _V -> .+ = ( +g ` H ) )
2522, 24syl 17 . . . . . 6 |- ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> .+ = ( +g ` H ) )
2625adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> .+ = ( +g ` H ) )
2726oveqdr 6674 . . . 4 |- ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` H ) y ) )
286adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> S = ( Base ` H ) )
2918, 27, 283eltr4d 2716 . . 3 |- ( ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
3029ralrimivva 2971 . 2 |- ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ H e. Mgm ) -> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S )
315adantl 482 . . . . 5 |- ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> S = ( Base ` H ) )
3225oveqd 6667 . . . . . . 7 |- ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` H ) y ) )
3332, 31eleq12d 2695 . . . . . 6 |- ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> ( ( x .+ y ) e. S <-> ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) ) )
3431, 33raleqbidv 3152 . . . . 5 |- ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> ( A. y e. S ( x .+ y ) e. S <-> A. y e. ( Base ` H ) ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) ) )
3531, 34raleqbidv 3152 . . . 4 |- ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S <-> A. x e. ( Base ` H ) A. y e. ( Base ` H ) ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) ) )
3635biimpa 501 . . 3 |- ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> A. x e. ( Base ` H ) A. y e. ( Base ` H ) ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) )
3715, 16ismgm 17243 . . . 4 |- ( H e. V -> ( H e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` H ) A. y e. ( Base ` H ) ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) ) )
3837ad2antrr 762 . . 3 |- ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> ( H e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` H ) A. y e. ( Base ` H ) ( x ( +g ` H ) y ) e. ( Base ` H ) ) )
3936, 38mpbird 247 . 2 |- ( ( ( H e. V /\ S C_ B ) /\ A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) -> H e. Mgm )
4030, 39impbida 877 1 |- ( ( H e. V /\ S C_ B ) -> ( H e. Mgm <-> A. x e. S A. y e. S ( x .+ y ) e. S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾s cress 15858   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mgm 17242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator