Theorem ldepsprlem 42261

Description: Lemma for ldepspr 42262. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	|- B = ( Base ` M )
snlindsntor.r	|- R = (Scalar ` M )
snlindsntor.s	|- S = ( Base ` R )
snlindsntor.0	|- .0. = ( 0g ` R )
snlindsntor.z	|- Z = ( 0g ` M )
snlindsntor.t	|- .x. = ( .s ` M )
ldepsprlem.1	|- .1. = ( 1r ` R )
ldepsprlem.n	|- N = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
ldepsprlem	|- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( .1. .x. X ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) = Z ) )

Proof of Theorem ldepsprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . 4 |- ( X = ( A .x. Y ) -> ( .1. .x. X ) = ( .1. .x. ( A .x. Y ) ) )
2	1	oveq1d 6665	. . 3 |- ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( .1. .x. X ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) = ( ( .1. .x. ( A .x. Y ) ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
3		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> M e. LMod )
4		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 |- R = (Scalar ` M )
5		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( Base ` R )
6		ldepsprlem.1	. . . . . . . . 9 |- .1. = ( 1r ` R )
7	4, 5, 6	lmod1cl 18890	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> .1. e. S )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> .1. e. S )
9		simpr3 1069	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> A e. S )
10		simpr2 1068	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> Y e. B )
11		snlindsntor.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
12		snlindsntor.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` M )
13		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
14	11, 4, 12, 5, 13	lmodvsass 18888	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( .1. e. S /\ A e. S /\ Y e. B ) ) -> ( ( .1. ( .r ` R ) A ) .x. Y ) = ( .1. .x. ( A .x. Y ) ) )
15	3, 8, 9, 10, 14	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( ( .1. ( .r ` R ) A ) .x. Y ) = ( .1. .x. ( A .x. Y ) ) )
16	15	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( .1. .x. ( A .x. Y ) ) = ( ( .1. ( .r ` R ) A ) .x. Y ) )
17	16	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( ( .1. .x. ( A .x. Y ) ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) = ( ( ( .1. ( .r ` R ) A ) .x. Y ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
18	4	lmodring 18871	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> R e. Ring )
19		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) -> A e. S )
20	5, 13, 6	ringlidm 18571	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ A e. S ) -> ( .1. ( .r ` R ) A ) = A )
21	18, 19, 20	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( .1. ( .r ` R ) A ) = A )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( ( .1. ( .r ` R ) A ) .x. Y ) = ( A .x. Y ) )
23	22	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( ( ( .1. ( .r ` R ) A ) .x. Y ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) = ( ( A .x. Y ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
24	4	lmodfgrp 18872	. . . . . . 7 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
25		ldepsprlem.n	. . . . . . . 8 |- N = ( invg ` R )
26	5, 25	grpinvcl 17467	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ A e. S ) -> ( N ` A ) e. S )
27	24, 19, 26	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( N ` A ) e. S )
28		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
29		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
30	11, 28, 4, 12, 5, 29	lmodvsdir 18887	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( A e. S /\ ( N ` A ) e. S /\ Y e. B ) ) -> ( ( A ( +g ` R ) ( N ` A ) ) .x. Y ) = ( ( A .x. Y ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
31	3, 9, 27, 10, 30	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( ( A ( +g ` R ) ( N ` A ) ) .x. Y ) = ( ( A .x. Y ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) )
32		snlindsntor.0	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` R )
33	5, 29, 32, 25	grprinv 17469	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Grp /\ A e. S ) -> ( A ( +g ` R ) ( N ` A ) ) = .0. )
34	24, 19, 33	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( A ( +g ` R ) ( N ` A ) ) = .0. )
35	34	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( ( A ( +g ` R ) ( N ` A ) ) .x. Y ) = ( .0. .x. Y ) )
36		snlindsntor.z	. . . . . . . 8 |- Z = ( 0g ` M )
37	11, 4, 12, 32, 36	lmod0vs 18896	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. B ) -> ( .0. .x. Y ) = Z )
38	37	3ad2antr2 1227	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( .0. .x. Y ) = Z )
39	35, 38	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( ( A ( +g ` R ) ( N ` A ) ) .x. Y ) = Z )
40	23, 31, 39	3eqtr2d 2662	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( ( ( .1. ( .r ` R ) A ) .x. Y ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) = Z )
41	17, 40	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( ( .1. .x. ( A .x. Y ) ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) = Z )
42	2, 41	sylan9eqr 2678	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( .1. .x. X ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) = Z )
43	42	ex 450	1 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( .1. .x. X ) ( +g ` M ) ( ( N ` A ) .x. Y ) ) = Z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865

This theorem is referenced by:  ldepspr  42262