Theorem ldepspr 42262

Description: If a vector is a scalar multiple of another vector, the (unordered pair containing the) two vectors are linearly dependent. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	|- B = ( Base ` M )
snlindsntor.r	|- R = (Scalar ` M )
snlindsntor.s	|- S = ( Base ` R )
snlindsntor.0	|- .0. = ( 0g ` R )
snlindsntor.z	|- Z = ( 0g ` M )
snlindsntor.t	|- .x. = ( .s ` M )

Assertion

Ref	Expression
ldepspr	|- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> { X , Y } linDepS M ) )

Proof of Theorem ldepspr

Dummy variables f v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1058	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
2	1	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
3		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( 1r ` R ) e. _V
4		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V
5	3, 4	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( ( 1r ` R ) e. _V /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V )
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) e. _V /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V ) )
7		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> X =/= Y )
8	7	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> X =/= Y )
9		fprg 6422	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( 1r ` R ) e. _V /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V ) /\ X =/= Y ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } : { X , Y } --> { ( 1r ` R ) , ( ( invg ` R ) ` A ) } )
10	2, 6, 8, 9	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } : { X , Y } --> { ( 1r ` R ) , ( ( invg ` R ) ` A ) } )
11		prfi 8235	. . . . . 6 |- { X , Y } e. Fin
12	11	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { X , Y } e. Fin )
13		snlindsntor.0	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` R )
14		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) e. _V
15	13, 14	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- .0. e. _V
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> .0. e. _V )
17	10, 12, 16	fdmfifsupp 8285	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. )
18	7	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( M e. LMod /\ X =/= Y ) )
19	18	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( M e. LMod /\ X =/= Y ) )
20		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 |- R = (Scalar ` M )
21		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( Base ` R )
22		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
23	20, 21, 22	lmod1cl 18890	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> ( 1r ` R ) e. S )
24		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> X e. B )
25	23, 24	anim12ci 591	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) )
26	25	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) )
27		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> Y e. B )
28	27	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> Y e. B )
29	20	lmodfgrp 18872	. . . . . . . 8 |- ( M e. LMod -> R e. Grp )
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> R e. Grp )
31		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> A e. S )
32		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
33	21, 32	grpinvcl 17467	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ A e. S ) -> ( ( invg ` R ) ` A ) e. S )
34	30, 31, 33	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` A ) e. S )
35		snlindsntor.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
36		snlindsntor.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` M )
37		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
38		eqid 2622	. . . . . . 7 |- { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. }
39	35, 20, 21, 36, 37, 38	lincvalpr 42207	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X =/= Y ) /\ ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) /\ ( Y e. B /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. S ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) )
40	19, 26, 28, 34, 39	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) )
41		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> M e. LMod )
42	24	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> X e. B )
43	31	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> A e. S )
44	42, 28, 43	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) )
45	41, 44	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) )
46		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> X = ( A .x. Y ) )
47		snlindsntor.z	. . . . . . 7 |- Z = ( 0g ` M )
48	35, 20, 21, 13, 47, 36, 22, 32	ldepsprlem 42261	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ A e. S ) ) -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) = Z ) )
49	45, 46, 48	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .x. X ) ( +g ` M ) ( ( ( invg ` R ) ` A ) .x. Y ) ) = Z )
50	40, 49	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z )
51	20	lmodring 18871	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. LMod -> R e. Ring )
52		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) <-> ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
54	21, 53, 22	01eq0ring 19272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) ) -> S = { ( 0g ` R ) } )
55		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> { ( 0g ` R ) } = { ( 1r ` R ) } )
56	55	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> ( S = { ( 0g ` R ) } <-> S = { ( 1r ` R ) } ) )
57		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( A e. S <-> A e. { ( 1r ` R ) } ) )
58		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. { ( 1r ` R ) } -> A = ( 1r ` R ) )
59		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A = ( 1r ` R ) -> ( A .x. Y ) = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) )
60	59	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A = ( 1r ` R ) -> ( X = ( A .x. Y ) <-> X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) ) )
61	27	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( Y e. B /\ M e. LMod ) )
62	61	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( M e. LMod /\ Y e. B ) )
63	35, 20, 36, 22	lmodvs1 18891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. LMod /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .x. Y ) = Y )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( ( 1r ` R ) .x. Y ) = Y )
65	64	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) <-> X = Y ) )
66		eqneqall 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( X = Y -> ( X =/= Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
67	66	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( X =/= Y -> ( X = Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
68	67	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( X = Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( X = Y -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
70	65, 69	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) /\ M e. LMod ) -> ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
71	70	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) )
72	71	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( X = ( ( 1r ` R ) .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) )
73	60, 72	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A = ( 1r ` R ) -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
74	58, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. { ( 1r ` R ) } -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
75	57, 74	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( A e. S -> ( X = ( A .x. Y ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
76	75	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
77	76	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S = { ( 1r ` R ) } -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
78	56, 77	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> ( S = { ( 0g ` R ) } -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) ) -> ( S = { ( 0g ` R ) } -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
80	54, 79	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
81	80	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( ( 0g ` R ) = ( 1r ` R ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
82	52, 81	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( M e. LMod -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
83	82	com25 99	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( M e. LMod -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) ) )
84	51, 83	mpcom 38	. . . . . . . . 9 |- ( M e. LMod -> ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) ) ) )
85	84	imp31 448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
86		orc 400	. . . . . . . 8 |- ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
87	85, 86	pm2.61d1 171	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
88	13	eqeq2i 2634	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1r ` R ) = .0. <-> ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
89	88	necon3abii 2840	. . . . . . . 8 |- ( ( 1r ` R ) =/= .0. <-> -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) )
90	89	orbi1i 542	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1r ` R ) =/= .0. \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) <-> ( -. ( 1r ` R ) = ( 0g ` R ) \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
91	87, 90	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( 1r ` R ) =/= .0. \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
92		fvexd 6203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. _V )
93		fvpr1g 6458	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. _V /\ X =/= Y ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) = ( 1r ` R ) )
94	42, 92, 8, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) = ( 1r ` R ) )
95	94	neeq1d 2853	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. <-> ( 1r ` R ) =/= .0. ) )
96		fvexd 6203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V )
97		fvpr2g 6459	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. B /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. _V /\ X =/= Y ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) = ( ( invg ` R ) ` A ) )
98	28, 96, 8, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) = ( ( invg ` R ) ` A ) )
99	98	neeq1d 2853	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. <-> ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) )
100	95, 99	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) <-> ( ( 1r ` R ) =/= .0. \/ ( ( invg ` R ) ` A ) =/= .0. ) ) )
101	91, 100	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) )
102		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( v = X -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) )
103	102	neeq1d 2853	. . . . . . 7 |- ( v = X -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. ) )
104		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( v = Y -> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) )
105	104	neeq1d 2853	. . . . . . 7 |- ( v = Y -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) )
106	103, 105	rexprg 4235	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) ) )
107	2, 106	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. <-> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` X ) =/= .0. \/ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` Y ) =/= .0. ) ) )
108	101, 107	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. )
109	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( 1r ` R ) e. S )
110	109	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. S )
111		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) e. _V
112	21, 111	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- S e. _V
113	8, 112	jctir 561	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( X =/= Y /\ S e. _V ) )
114	38	mapprop 42124	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ ( 1r ` R ) e. S ) /\ ( Y e. B /\ ( ( invg ` R ) ` A ) e. S ) /\ ( X =/= Y /\ S e. _V ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } e. ( S ^m { X , Y } ) )
115	42, 110, 28, 34, 113, 114	syl221anc 1337	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } e. ( S ^m { X , Y } ) )
116		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( f finSupp .0. <-> { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. ) )
117		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) )
118	117	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z ) )
119		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( f ` v ) = ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) )
120	119	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( ( f ` v ) =/= .0. <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) )
121	120	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. <-> E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) )
122	116, 118, 121	3anbi123d 1399	. . . . . 6 |- ( f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. /\ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) ) )
123	122	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) /\ f = { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ) -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) <-> ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. /\ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) ) )
124	115, 123	rspcedv 3313	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } finSupp .0. /\ ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( { <. X , ( 1r ` R ) >. , <. Y , ( ( invg ` R ) ` A ) >. } ` v ) =/= .0. ) -> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) ) )
125	17, 50, 108, 124	mp3and 1427	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) )
126		prelpwi 4915	. . . . . 6 |- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> { X , Y } e. ~P B )
127	126	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) -> { X , Y } e. ~P B )
128	127	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { X , Y } e. ~P B )
129	35, 47, 20, 21, 13	islindeps 42242	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ { X , Y } e. ~P B ) -> ( { X , Y } linDepS M <-> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) ) )
130	41, 128, 129	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> ( { X , Y } linDepS M <-> E. f e. ( S ^m { X , Y } ) ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X , Y } ) = Z /\ E. v e. { X , Y } ( f ` v ) =/= .0. ) ) )
131	125, 130	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) /\ ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) ) -> { X , Y } linDepS M )
132	131	ex 450	1 |- ( ( M e. LMod /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X =/= Y ) ) -> ( ( A e. S /\ X = ( A .x. Y ) ) -> { X , Y } linDepS M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   linC clinc 42193   linDepS clindeps 42230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-linc 42195  df-lininds 42231  df-lindeps 42233

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