Theorem snlindsntor 42260

Description: A singleton is linearly independent iff it does not contain a torsion element. According to Wikipedia ("Torsion (algebra)", 15-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Torsion_(algebra)): "An element m of a module M over a ring R is called a torsion element of the module if there exists a regular element r of the ring (an element that is neither a left nor a right zero divisor) that annihilates m, i.e., ( r .x. m ) = 0. In an integral domain (a commutative ring without zero divisors), every nonzero element is regular, so a torsion element of a module over an integral domain is one annihilated by a nonzero element of the integral domain." Analogously, the definition in [Lang] p. 147 states that "An element x of [a module] E [over a ring R] is called a torsion element if there exists a e. R, a =/= 0, such that a .x. x = 0. This definition includes the zero element of the module. Some authors, however, exclude the zero element from the definition of torsion elements. (Contributed by AV, 14-Apr-2019.) (Revised by AV, 27-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	|- B = ( Base ` M )
snlindsntor.r	|- R = (Scalar ` M )
snlindsntor.s	|- S = ( Base ` R )
snlindsntor.0	|- .0. = ( 0g ` R )
snlindsntor.z	|- Z = ( 0g ` M )
snlindsntor.t	|- .x. = ( .s ` M )

Assertion

Ref	Expression
snlindsntor	|- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. s e. ( S \ { .0. } ) ( s .x. X ) =/= Z <-> { X } linIndS M ) )

Distinct variable groups:   B, s   M, s   S, s   X, s   Z, s   .x. , s   .0. , s

Allowed substitution hint:   R( s)

Proof of Theorem snlindsntor

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2795	. . . . 5 |- ( ( s .x. X ) =/= Z <-> -. ( s .x. X ) = Z )
2	1	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. s e. ( S \ { .0. } ) ( s .x. X ) =/= Z <-> A. s e. ( S \ { .0. } ) -. ( s .x. X ) = Z )
3		raldifsni 4324	. . . 4 |- ( A. s e. ( S \ { .0. } ) -. ( s .x. X ) = Z <-> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) )
4	2, 3	bitri 264	. . 3 |- ( A. s e. ( S \ { .0. } ) ( s .x. X ) =/= Z <-> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) )
5		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> M e. LMod )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) -> M e. LMod )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> M e. LMod )
8		snlindsntor.s	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S = ( Base ` R )
9		snlindsntor.r	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- R = (Scalar ` M )
10	9	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
11	8, 10	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( Base ` (Scalar ` M ) )
12	11	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S ^m { X } ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { X } )
13	12	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( S ^m { X } ) <-> f e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { X } ) )
14	13	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( S ^m { X } ) -> f e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { X } ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> f e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { X } ) )
16		snelpwi 4912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. ( Base ` M ) -> { X } e. ~P ( Base ` M ) )
17		snlindsntor.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( Base ` M )
18	16, 17	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. B -> { X } e. ~P ( Base ` M ) )
19	18	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> { X } e. ~P ( Base ` M ) )
20		lincval 42198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ f e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m { X } ) /\ { X } e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( f ( linC ` M ) { X } ) = ( M gsumg ( x e. { X } |-> ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
21	7, 15, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> ( f ( linC ` M ) { X } ) = ( M gsumg ( x e. { X } |-> ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z <-> ( M gsumg ( x e. { X } |-> ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = Z ) )
23	22	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) <-> ( f finSupp .0. /\ ( M gsumg ( x e. { X } |-> ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = Z ) ) )
24		lmodgrp 18870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. LMod -> M e. Grp )
25		grpmnd 17429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. Grp -> M e. Mnd )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. LMod -> M e. Mnd )
27	26	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> M e. Mnd )
28		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> X e. B )
29		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( S ^m { X } ) -> f : { X } --> S )
30	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : { X } --> S /\ ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) ) -> M e. LMod )
31		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. B -> X e. { X } )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> X e. { X } )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) -> X e. { X } )
34		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : { X } --> S /\ X e. { X } ) -> ( f ` X ) e. S )
35	33, 34	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : { X } --> S /\ ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) ) -> ( f ` X ) e. S )
36		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : { X } --> S /\ ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) ) -> X e. B )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
38	17, 9, 37, 8	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. LMod /\ ( f ` X ) e. S /\ X e. B ) -> ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B )
39	30, 35, 36, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : { X } --> S /\ ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) ) -> ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B )
40	39	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) -> ( f : { X } --> S -> ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B ) )
41	29, 40	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( S ^m { X } ) -> ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) -> ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B ) )
42	41	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( f ` x ) = ( f ` X ) )
44		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> x = X )
45	43, 44	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) = ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) )
46	17, 45	gsumsn 18354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. Mnd /\ X e. B /\ ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) e. B ) -> ( M gsumg ( x e. { X } |-> ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) )
47	27, 28, 42, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> ( M gsumg ( x e. { X } |-> ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) )
48	47	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> ( ( M gsumg ( x e. { X } |-> ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = Z <-> ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) = Z ) )
49	31, 34	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : { X } --> S /\ X e. B ) -> ( f ` X ) e. S )
50	49	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. B -> ( f : { X } --> S -> ( f ` X ) e. S ) )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( f : { X } --> S -> ( f ` X ) e. S ) )
52		snlindsntor.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .x. = ( .s ` M )
53	52	oveqi 6663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f ` X ) .x. X ) = ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X )
54	53	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` X ) .x. X ) = Z <-> ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) = Z )
55		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s = ( f ` X ) -> ( s .x. X ) = ( ( f ` X ) .x. X ) )
56	55	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = ( f ` X ) -> ( ( s .x. X ) = Z <-> ( ( f ` X ) .x. X ) = Z ) )
57		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = ( f ` X ) -> ( s = .0. <-> ( f ` X ) = .0. ) )
58	56, 57	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s = ( f ` X ) -> ( ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) <-> ( ( ( f ` X ) .x. X ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) )
59	58	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` X ) e. S /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) -> ( ( ( f ` X ) .x. X ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) )
60	54, 59	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` X ) e. S /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) -> ( ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) )
61	60	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` X ) e. S -> ( A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) -> ( ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) )
62	29, 51, 61	syl56 36	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( f e. ( S ^m { X } ) -> ( A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) -> ( ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) ) )
63	62	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) -> ( f e. ( S ^m { X } ) -> ( ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) ) )
64	63	imp31 448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> ( ( ( f ` X ) ( .s ` M ) X ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) )
65	48, 64	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> ( ( M gsumg ( x e. { X } |-> ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) )
66	65	adantld 483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> ( ( f finSupp .0. /\ ( M gsumg ( x e. { X } |-> ( ( f ` x ) ( .s ` M ) x ) ) ) = Z ) -> ( f ` X ) = .0. ) )
67	23, 66	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> ( f ` X ) = .0. ) )
68	67	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) -> A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> ( f ` X ) = .0. ) )
69	68	ex 450	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) -> A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> ( f ` X ) = .0. ) ) )
70		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> ( f ` X ) = .0. ) <-> ( f finSupp .0. -> ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) )
71	29	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> f : { X } --> S )
72		snfi 8038	. . . . . . . . . . 11 |- { X } e. Fin
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> { X } e. Fin )
74		snlindsntor.0	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. = ( 0g ` R )
75		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` R ) e. _V
76	74, 75	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- .0. e. _V
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> .0. e. _V )
78	71, 73, 77	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> f finSupp .0. )
79		pm2.27 42	. . . . . . . . 9 |- ( f finSupp .0. -> ( ( f finSupp .0. -> ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) -> ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> ( ( f finSupp .0. -> ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) -> ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) )
81	70, 80	syl5bi 232	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ f e. ( S ^m { X } ) ) -> ( ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> ( f ` X ) = .0. ) -> ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) )
82	81	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> ( f ` X ) = .0. ) -> A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) ) )
83		snlindsntor.z	. . . . . . 7 |- Z = ( 0g ` M )
84	17, 9, 8, 74, 83, 52	snlindsntorlem 42259	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
85	82, 84	syld 47	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> ( f ` X ) = .0. ) -> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
86	69, 85	impbid 202	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) <-> A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> ( f ` X ) = .0. ) ) )
87		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = X -> ( f ` y ) = ( f ` X ) )
88	87	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( y = X -> ( ( f ` y ) = .0. <-> ( f ` X ) = .0. ) )
89	88	ralsng 4218	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( A. y e. { X } ( f ` y ) = .0. <-> ( f ` X ) = .0. ) )
90	89	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. y e. { X } ( f ` y ) = .0. <-> ( f ` X ) = .0. ) )
91	90	bicomd 213	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( ( f ` X ) = .0. <-> A. y e. { X } ( f ` y ) = .0. ) )
92	91	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> ( f ` X ) = .0. ) <-> ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> A. y e. { X } ( f ` y ) = .0. ) ) )
93	92	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> ( f ` X ) = .0. ) <-> A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> A. y e. { X } ( f ` y ) = .0. ) ) )
94		snelpwi 4912	. . . . . 6 |- ( X e. B -> { X } e. ~P B )
95	94	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> { X } e. ~P B )
96	95	biantrurd 529	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> A. y e. { X } ( f ` y ) = .0. ) <-> ( { X } e. ~P B /\ A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> A. y e. { X } ( f ` y ) = .0. ) ) ) )
97	86, 93, 96	3bitrd 294	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) <-> ( { X } e. ~P B /\ A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> A. y e. { X } ( f ` y ) = .0. ) ) ) )
98	4, 97	syl5bb 272	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. s e. ( S \ { .0. } ) ( s .x. X ) =/= Z <-> ( { X } e. ~P B /\ A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> A. y e. { X } ( f ` y ) = .0. ) ) ) )
99		snex 4908	. . 3 |- { X } e. _V
100	17, 83, 9, 8, 74	islininds 42235	. . 3 |- ( ( { X } e. _V /\ M e. LMod ) -> ( { X } linIndS M <-> ( { X } e. ~P B /\ A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> A. y e. { X } ( f ` y ) = .0. ) ) ) )
101	99, 5, 100	sylancr 695	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( { X } linIndS M <-> ( { X } e. ~P B /\ A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f finSupp .0. /\ ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z ) -> A. y e. { X } ( f ` y ) = .0. ) ) ) )
102	98, 101	bitr4d 271	1 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. s e. ( S \ { .0. } ) ( s .x. X ) =/= Z <-> { X } linIndS M ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   LModclmod 18863   linC clinc 42193   linIndS clininds 42229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-lmod 18865  df-linc 42195  df-lininds 42231

This theorem is referenced by:  lindssnlvec  42275