Theorem legov2 25481

Description: An equivalent definition of the less-than relationship. Definition 5.5 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	|- P = ( Base ` G )
legval.d	|- .- = ( dist ` G )
legval.i	|- I = (Itv ` G )
legval.l	|- .<_ = (≤G ` G )
legval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
legov.a	|- ( ph -> A e. P )
legov.b	|- ( ph -> B e. P )
legov.c	|- ( ph -> C e. P )
legov.d	|- ( ph -> D e. P )

Assertion

Ref	Expression
legov2	|- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) <-> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, .-   x, A   x, B   x, C   x, D   x, I   x, P   x, G   ph, x

Allowed substitution hint:   .<_ ( x)

Proof of Theorem legov2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . 3 |- P = ( Base ` G )
2		legval.d	. . 3 |- .- = ( dist ` G )
3		legval.i	. . 3 |- I = (Itv ` G )
4		legval.l	. . 3 |- .<_ = (≤G ` G )
5		legval.g	. . 3 |- ( ph -> G e. TarskiG )
6		legov.a	. . 3 |- ( ph -> A e. P )
7		legov.b	. . 3 |- ( ph -> B e. P )
8		legov.c	. . 3 |- ( ph -> C e. P )
9		legov.d	. . 3 |- ( ph -> D e. P )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	legov 25480	. 2 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) <-> E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) )
11		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (LineG ` G ) = (LineG ` G )
12	5	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> G e. TarskiG )
13	8	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> C e. P )
14		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> z e. P )
15	9	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> D e. P )
16		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (cgrG ` G ) = (cgrG ` G )
17	6	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> A e. P )
18	7	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> B e. P )
19		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> z e. ( C I D ) )
20	1, 11, 3, 12, 13, 15, 14, 19	btwncolg1 25450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> ( z e. ( C (LineG ` G ) D ) \/ C = D ) )
21		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> ( A .- B ) = ( C .- z ) )
22	21	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> ( C .- z ) = ( A .- B ) )
23	1, 11, 3, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 2, 20, 22	lnext 25462	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> E. x e. P <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> )
24	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> G e. TarskiG )
25	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> C e. P )
26	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> z e. P )
27	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> D e. P )
28	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> A e. P )
29	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> B e. P )
30		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> x e. P )
31		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> )
32		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) )
33	32	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> z e. ( C I D ) )
34	1, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33	tgbtwnxfr 25425	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> B e. ( A I x ) )
35	1, 2, 3, 16, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31	trgcgrcom 25423	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> <" A B x "> (cgrG ` G ) <" C z D "> )
36	1, 2, 3, 16, 24, 28, 29, 30, 25, 26, 27, 35	cgr3simp3 25417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> ( x .- A ) = ( D .- C ) )
37	1, 2, 3, 24, 30, 28, 27, 25, 36	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> ( A .- x ) = ( C .- D ) )
38	34, 37	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) /\ <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> ) -> ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) )
39	38	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) /\ x e. P ) -> ( <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> -> ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) )
40	39	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> ( E. x e. P <" C z D "> (cgrG ` G ) <" A B x "> -> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) )
41	23, 40	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) )
42	41	adantllr 755	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) -> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) )
43		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) -> E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) )
44		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( y e. ( C I D ) <-> z e. ( C I D ) ) )
45		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( C .- y ) = ( C .- z ) )
46	45	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( A .- B ) = ( C .- y ) <-> ( A .- B ) = ( C .- z ) ) )
47	44, 46	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) <-> ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) ) )
48	47	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) <-> E. z e. P ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) )
49	43, 48	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) -> E. z e. P ( z e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- z ) ) )
50	42, 49	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ( ph /\ E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) -> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) )
51	5	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> G e. TarskiG )
52	6	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> A e. P )
53		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> z e. P )
54	7	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> B e. P )
55	8	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> C e. P )
56	9	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> D e. P )
57		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> B e. ( A I z ) )
58	1, 11, 3, 51, 52, 54, 53, 57	btwncolg3 25452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> ( z e. ( A (LineG ` G ) B ) \/ A = B ) )
59		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> ( A .- z ) = ( C .- D ) )
60	1, 11, 3, 51, 52, 53, 54, 16, 55, 56, 2, 58, 59	lnext 25462	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> E. y e. P <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> )
61	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> G e. TarskiG )
62	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> A e. P )
63	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> B e. P )
64	53	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> z e. P )
65	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> C e. P )
66		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> y e. P )
67	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> D e. P )
68		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> )
69	1, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68	cgr3swap23 25419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> <" A B z "> (cgrG ` G ) <" C y D "> )
70		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) )
71	70	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> B e. ( A I z ) )
72	1, 2, 3, 16, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71	tgbtwnxfr 25425	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> y e. ( C I D ) )
73	1, 2, 3, 16, 61, 62, 64, 63, 65, 67, 66, 68	cgr3simp3 25417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> ( B .- A ) = ( y .- C ) )
74	1, 2, 3, 61, 63, 62, 66, 65, 73	tgcgrcomlr 25375	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> ( A .- B ) = ( C .- y ) )
75	72, 74	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) /\ <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> ) -> ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) )
76	75	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) /\ y e. P ) -> ( <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> -> ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) )
77	76	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> ( E. y e. P <" A z B "> (cgrG ` G ) <" C D y "> -> E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) ) )
78	60, 77	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) )
79	78	adantllr 755	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) /\ z e. P ) /\ ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) -> E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) )
80		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) -> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) )
81		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( A I x ) = ( A I z ) )
82	81	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( B e. ( A I x ) <-> B e. ( A I z ) ) )
83		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( A .- x ) = ( A .- z ) )
84	83	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( ( A .- x ) = ( C .- D ) <-> ( A .- z ) = ( C .- D ) ) )
85	82, 84	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) <-> ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) ) )
86	85	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) <-> E. z e. P ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) )
87	80, 86	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) -> E. z e. P ( B e. ( A I z ) /\ ( A .- z ) = ( C .- D ) ) )
88	79, 87	r19.29a 3078	. . 3 |- ( ( ph /\ E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) -> E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) )
89	50, 88	impbida 877	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. P ( y e. ( C I D ) /\ ( A .- B ) = ( C .- y ) ) <-> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) )
90	10, 89	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) <-> E. x e. P ( B e. ( A I x ) /\ ( A .- x ) = ( C .- D ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   <"cs3 13587   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  cgrGccgrg 25405  ≤Gcleg 25477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406  df-leg 25478

This theorem is referenced by:  legtri3  25485  legtrid  25486