Theorem lidldvgen 19255

Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidldvgen.b	|- B = ( Base ` R )
lidldvgen.u	|- U = (LIdeal ` R )
lidldvgen.k	|- K = (RSpan ` R )
lidldvgen.d	|- .|| = ( ||r ` R )

Assertion

Ref	Expression
lidldvgen	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> ( I = ( K ` { G } ) <-> ( G e. I /\ A. x e. I G .|| x ) ) )

Distinct variable groups:   x, U   x, B   x, .||   x, R   x, I   x, K   x, G

Proof of Theorem lidldvgen

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> R e. Ring )
2		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> G e. B )
3	2	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> { G } C_ B )
4		lidldvgen.k	. . . . . . 7 |- K = (RSpan ` R )
5		lidldvgen.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
6	4, 5	rspssid 19223	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ { G } C_ B ) -> { G } C_ ( K ` { G } ) )
7	1, 3, 6	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> { G } C_ ( K ` { G } ) )
8		snssg 4327	. . . . . 6 |- ( G e. B -> ( G e. ( K ` { G } ) <-> { G } C_ ( K ` { G } ) ) )
9	8	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> ( G e. ( K ` { G } ) <-> { G } C_ ( K ` { G } ) ) )
10	7, 9	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> G e. ( K ` { G } ) )
11		lidldvgen.d	. . . . . . . . . 10 |- .|| = ( ||r ` R )
12	5, 4, 11	rspsn 19254	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ G e. B ) -> ( K ` { G } ) = { y | G .|| y } )
13	12	3adant2 1080	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> ( K ` { G } ) = { y | G .|| y } )
14	13	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> ( x e. ( K ` { G } ) <-> x e. { y | G .|| y } ) )
15		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
16		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( G .|| y <-> G .|| x ) )
17	15, 16	elab 3350	. . . . . . 7 |- ( x e. { y | G .|| y } <-> G .|| x )
18	14, 17	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> ( x e. ( K ` { G } ) <-> G .|| x ) )
19	18	biimpd 219	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> ( x e. ( K ` { G } ) -> G .|| x ) )
20	19	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> A. x e. ( K ` { G } ) G .|| x )
21	10, 20	jca 554	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> ( G e. ( K ` { G } ) /\ A. x e. ( K ` { G } ) G .|| x ) )
22		eleq2 2690	. . . 4 |- ( I = ( K ` { G } ) -> ( G e. I <-> G e. ( K ` { G } ) ) )
23		raleq 3138	. . . 4 |- ( I = ( K ` { G } ) -> ( A. x e. I G .|| x <-> A. x e. ( K ` { G } ) G .|| x ) )
24	22, 23	anbi12d 747	. . 3 |- ( I = ( K ` { G } ) -> ( ( G e. I /\ A. x e. I G .|| x ) <-> ( G e. ( K ` { G } ) /\ A. x e. ( K ` { G } ) G .|| x ) ) )
25	21, 24	syl5ibrcom 237	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> ( I = ( K ` { G } ) -> ( G e. I /\ A. x e. I G .|| x ) ) )
26		df-ral 2917	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. I G .|| x <-> A. x ( x e. I -> G .|| x ) )
27		ssab 3672	. . . . . . . 8 |- ( I C_ { x | G .|| x } <-> A. x ( x e. I -> G .|| x ) )
28	26, 27	bitr4i 267	. . . . . . 7 |- ( A. x e. I G .|| x <-> I C_ { x | G .|| x } )
29	28	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( A. x e. I G .|| x -> I C_ { x | G .|| x } )
30	29	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) /\ ( G e. I /\ A. x e. I G .|| x ) ) -> I C_ { x | G .|| x } )
31	5, 4, 11	rspsn 19254	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ G e. B ) -> ( K ` { G } ) = { x | G .|| x } )
32	31	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> ( K ` { G } ) = { x | G .|| x } )
33	32	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) /\ ( G e. I /\ A. x e. I G .|| x ) ) -> ( K ` { G } ) = { x | G .|| x } )
34	30, 33	sseqtr4d 3642	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) /\ ( G e. I /\ A. x e. I G .|| x ) ) -> I C_ ( K ` { G } ) )
35		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) /\ G e. I ) -> R e. Ring )
36		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) /\ G e. I ) -> I e. U )
37		snssi 4339	. . . . . . 7 |- ( G e. I -> { G } C_ I )
38	37	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) /\ G e. I ) -> { G } C_ I )
39		lidldvgen.u	. . . . . . 7 |- U = (LIdeal ` R )
40	4, 39	rspssp 19226	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ { G } C_ I ) -> ( K ` { G } ) C_ I )
41	35, 36, 38, 40	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) /\ G e. I ) -> ( K ` { G } ) C_ I )
42	41	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) /\ ( G e. I /\ A. x e. I G .|| x ) ) -> ( K ` { G } ) C_ I )
43	34, 42	eqssd 3620	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) /\ ( G e. I /\ A. x e. I G .|| x ) ) -> I = ( K ` { G } ) )
44	43	ex 450	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> ( ( G e. I /\ A. x e. I G .|| x ) -> I = ( K ` { G } ) ) )
45	25, 44	impbid 202	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G e. B ) -> ( I = ( K ` { G } ) <-> ( G e. I /\ A. x e. I G .|| x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   Ringcrg 18547   ||_rcdsr 18638  LIdealclidl 19170  RSpancrsp 19171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-dvdsr 18641  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175

This theorem is referenced by:  lpigen  19256  ig1prsp  23937