Theorem ig1prsp 23937

Description: Any ideal of polynomials over a division ring is generated by the ideal's canonical generator. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	|- P = (Poly1 ` R )
ig1pval.g	|- G = (idlGen1p ` R )
ig1pcl.u	|- U = (LIdeal ` P )
ig1prsp.k	|- K = (RSpan ` P )

Assertion

Ref	Expression
ig1prsp	|- ( ( R e. DivRing /\ I e. U ) -> I = ( K ` { ( G ` I ) } ) )

Proof of Theorem ig1prsp

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ig1pval.p	. . 3 |- P = (Poly1 ` R )
2		ig1pval.g	. . 3 |- G = (idlGen1p ` R )
3		ig1pcl.u	. . 3 |- U = (LIdeal ` P )
4	1, 2, 3	ig1pcl 23935	. 2 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. U ) -> ( G ` I ) e. I )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ||r ` P ) = ( ||r ` P )
6	1, 2, 3, 5	ig1pdvds 23936	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. U /\ x e. I ) -> ( G ` I ) ( ||r ` P ) x )
7	6	3expa 1265	. . 3 |- ( ( ( R e. DivRing /\ I e. U ) /\ x e. I ) -> ( G ` I ) ( ||r ` P ) x )
8	7	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. U ) -> A. x e. I ( G ` I ) ( ||r ` P ) x )
9		drngring 18754	. . . . 5 |- ( R e. DivRing -> R e. Ring )
10	1	ply1ring 19618	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
11	9, 10	syl 17	. . . 4 |- ( R e. DivRing -> P e. Ring )
12	11	adantr 481	. . 3 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. U ) -> P e. Ring )
13		simpr 477	. . 3 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. U ) -> I e. U )
14		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
15	14, 3	lidlss 19210	. . . . 5 |- ( I e. U -> I C_ ( Base ` P ) )
16	15	adantl 482	. . . 4 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. U ) -> I C_ ( Base ` P ) )
17	16, 4	sseldd 3604	. . 3 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. U ) -> ( G ` I ) e. ( Base ` P ) )
18		ig1prsp.k	. . . 4 |- K = (RSpan ` P )
19	14, 3, 18, 5	lidldvgen 19255	. . 3 |- ( ( P e. Ring /\ I e. U /\ ( G ` I ) e. ( Base ` P ) ) -> ( I = ( K ` { ( G ` I ) } ) <-> ( ( G ` I ) e. I /\ A. x e. I ( G ` I ) ( ||r ` P ) x ) ) )
20	12, 13, 17, 19	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. U ) -> ( I = ( K ` { ( G ` I ) } ) <-> ( ( G ` I ) e. I /\ A. x e. I ( G ` I ) ( ||r ` P ) x ) ) )
21	4, 8, 20	mpbir2and 957	1 |- ( ( R e. DivRing /\ I e. U ) -> I = ( K ` { ( G ` I ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   Ringcrg 18547   ||_rcdsr 18638   DivRingcdr 18747  LIdealclidl 19170  RSpancrsp 19171  Poly₁cpl1 19547  idlGen_1pcig1p 23889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-rlreg 19283  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-mon1 23890  df-uc1p 23891  df-q1p 23892  df-r1p 23893  df-ig1p 23894

This theorem is referenced by:  ply1lpir  23938