Theorem limsupmnfuz 39959

Description: The superior limit of a function is -oo if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupmnfuz.1	|- F/_ j F
limsupmnfuz.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
limsupmnfuz.3	|- Z = ( ZZ>= ` M )
limsupmnfuz.4	|- ( ph -> F : Z --> RR* )

Assertion

Ref	Expression
limsupmnfuz	|- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = -oo <-> A. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )

Distinct variable groups:   k, F, x   k, Z, x   j, k, x

Allowed substitution hints:   ph( x, j, k)   F( j)   M( x, j, k)   Z( j)

Proof of Theorem limsupmnfuz

Dummy variables i l y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupmnfuz.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		limsupmnfuz.3	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		limsupmnfuz.4	. . 3 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
4	1, 2, 3	limsupmnfuzlem 39958	. 2 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = -oo <-> A. y e. RR E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y ) )
5		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( F ` l ) <_ y <-> ( F ` l ) <_ x ) )
6	5	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x ) )
7	6	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( y = x -> ( E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( i = k -> ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` k ) )
9	8	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( i = k -> ( A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x <-> A. l e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` l ) <_ x ) )
10		limsupmnfuz.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j F
11		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j l
12	10, 11	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j ( F ` l )
13		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j <_
14		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j x
15	12, 13, 14	nfbr 4699	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( F ` l ) <_ x
16		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ l ( F ` j ) <_ x
17		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( l = j -> ( F ` l ) = ( F ` j ) )
18	17	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( l = j -> ( ( F ` l ) <_ x <-> ( F ` j ) <_ x ) )
19	15, 16, 18	cbvral 3167	. . . . . . . . 9 |- ( A. l e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` l ) <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( i = k -> ( A. l e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` l ) <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
21	9, 20	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
22	21	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x <-> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
23	22	a1i 11	. . . . 5 |- ( y = x -> ( E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ x <-> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
24	7, 23	bitrd 268	. . . 4 |- ( y = x -> ( E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
25	24	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. y e. RR E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> A. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
26	25	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( A. y e. RR E. i e. Z A. l e. ( ZZ>= ` i ) ( F ` l ) <_ y <-> A. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
27	4, 26	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = -oo <-> A. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   limsupclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ico 12181  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-limsup 14202

This theorem is referenced by: (None)