Theorem limsupmnfuzlem 39958

Description: The superior limit of a function is -oo if and only if every real number is the upper bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupmnfuzlem.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
limsupmnfuzlem.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )
limsupmnfuzlem.3	|- ( ph -> F : Z --> RR* )

Assertion

Ref	Expression
limsupmnfuzlem	|- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = -oo <-> A. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )

Distinct variable groups:   j, F, k, x   j, M, k   j, Z, k, x   ph, j, k, x

Allowed substitution hint:   M( x)

Proof of Theorem limsupmnfuzlem

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ j F
2		limsupmnfuzlem.2	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3		uzssre 39620	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . 4 |- Z C_ RR
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> Z C_ RR )
6		limsupmnfuzlem.3	. . 3 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
7	1, 5, 6	limsupmnf 39953	. 2 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = -oo <-> A. x e. RR E. k e. RR A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
8		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( k = i -> ( k <_ j <-> i <_ j ) )
9	8	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( k = i -> ( ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
10	9	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( k = i -> ( A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
11	10	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. k e. RR A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> E. i e. RR A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
12	11	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( E. k e. RR A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> E. i e. RR A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
13		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M <_ (⌈ ` i ) -> if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) = (⌈ ` i ) )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ M <_ (⌈ ` i ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) = (⌈ ` i ) )
15		limsupmnfuzlem.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. ZZ )
16	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ M <_ (⌈ ` i ) ) -> M e. ZZ )
17		ceilcl 12643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. RR -> (⌈ ` i ) e. ZZ )
18	17	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ M <_ (⌈ ` i ) ) -> (⌈ ` i ) e. ZZ )
19		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ M <_ (⌈ ` i ) ) -> M <_ (⌈ ` i ) )
20	2, 16, 18, 19	eluzd 39635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ M <_ (⌈ ` i ) ) -> (⌈ ` i ) e. Z )
21	14, 20	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ M <_ (⌈ ` i ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) e. Z )
22		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. M <_ (⌈ ` i ) -> if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) = M )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ -. M <_ (⌈ ` i ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) = M )
24	15, 2	uzidd2 39643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. Z )
25	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ -. M <_ (⌈ ` i ) ) -> M e. Z )
26	23, 25	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ -. M <_ (⌈ ` i ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) e. Z )
27	21, 26	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. RR ) -> if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) e. Z )
28	27	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. RR /\ A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) e. Z )
29		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ph
30		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j i e. RR
31		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x )
32	29, 30, 31	nf3an 1831	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( ph /\ i e. RR /\ A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
33		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> i e. RR )
34	4, 27	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. RR ) -> if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) e. RR )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) e. RR )
36		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) -> j e. RR )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> j e. RR )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. RR ) -> i e. RR )
39	17	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. RR -> (⌈ ` i ) e. RR )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. RR ) -> (⌈ ` i ) e. RR )
41		ceilge 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. RR -> i <_ (⌈ ` i ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. RR ) -> i <_ (⌈ ` i ) )
43	4, 24	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> M e. RR )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. RR ) -> M e. RR )
45		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. RR /\ (⌈ ` i ) e. RR ) -> (⌈ ` i ) <_ if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) )
46	44, 40, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ i e. RR ) -> (⌈ ` i ) <_ if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) )
47	38, 40, 34, 42, 46	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. RR ) -> i <_ if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> i <_ if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) )
49		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) <_ j )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) <_ j )
51	33, 35, 37, 48, 50	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> i <_ j )
52	51	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. RR /\ A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> i <_ j )
53		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. RR /\ A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
54	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> M e. ZZ )
55		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) -> j e. ZZ )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> j e. ZZ )
57	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> M e. RR )
58		max1 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. RR /\ (⌈ ` i ) e. RR ) -> M <_ if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) )
59	43, 39, 58	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. RR ) -> M <_ if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> M <_ if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) )
61	57, 35, 37, 60, 50	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> M <_ j )
62	2, 54, 56, 61	eluzd 39635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ i e. RR ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> j e. Z )
63	62	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ i e. RR /\ A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> j e. Z )
64		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. Z ) -> ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
65	53, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ i e. RR /\ A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
66	52, 65	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. RR /\ A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) /\ j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ) -> ( F ` j ) <_ x )
67	66	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. RR /\ A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> ( j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) -> ( F ` j ) <_ x ) )
68	32, 67	ralrimi 2957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. RR /\ A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ( F ` j ) <_ x )
69		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) )
70	69	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ( F ` j ) <_ x ) )
71	70	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` if ( M <_ (⌈ ` i ) , (⌈ ` i ) , M ) ) ( F ` j ) <_ x ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
72	28, 68, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. RR /\ A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
73	72	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( i e. RR -> ( A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) )
74	73	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. i e. RR A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
75	74	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. i e. RR A. j e. Z ( i <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
76	12, 75	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E. k e. RR A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
77	76	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( E. k e. RR A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) -> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
78		rexss 3669	. . . . . . . 8 |- ( Z C_ RR -> ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> E. k e. RR ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) )
79	4, 78	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x <-> E. k e. RR ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
80	79	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x -> E. k e. RR ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
81		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j k e. Z
82		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x
83	81, 82	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
84		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x )
85		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` k )
86	2	eluzelz2 39627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
87	86	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> k e. ZZ )
88	2	eluzelz2 39627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
89	88	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> j e. ZZ )
90		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> k <_ j )
91	85, 87, 89, 90	eluzd 39635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. Z /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> j e. ( ZZ>= ` k ) )
92	91	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> j e. ( ZZ>= ` k ) )
93		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x /\ j e. ( ZZ>= ` k ) ) -> ( F ` j ) <_ x )
94	84, 92, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) /\ j e. Z /\ k <_ j ) -> ( F ` j ) <_ x )
95	94	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> ( j e. Z -> ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
96	83, 95	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
97	96	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
98	97	reximdv 3016	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. k e. RR ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> E. k e. RR A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
99	98	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. k e. RR ( k e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) ) -> E. k e. RR A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
100	80, 99	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) -> E. k e. RR A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
101	100	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x -> E. k e. RR A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
102	77, 101	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. RR A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
103	102	ralbidv 2986	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR E. k e. RR A. j e. Z ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> A. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )
104	7, 103	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = -oo <-> A. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) ( F ` j ) <_ x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ⌈cceil 12592   limsupclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-ico 12181  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-limsup 14202

This theorem is referenced by:  limsupmnfuz  39959