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Theorem linccl 42203
Description: A linear combination of vectors is a vector. (Contributed by AV, 31-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
linccl.b |- B = ( Base ` M )
linccl.r |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
Assertion
Ref Expression
linccl |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) e. B )
Proof of Theorem linccl
Dummy variable v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. LMod )
2 linccl.r . . . . . . . 8 |- R = ( Base ` (Scalar ` M ) )
32oveq1i 6660 . . . . . . 7 |- ( R ^m V ) = ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V )
43eleq2i 2693 . . . . . 6 |- ( S e. ( R ^m V ) <-> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
54biimpi 206 . . . . 5 |- ( S e. ( R ^m V ) -> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
653ad2ant3 1084 . . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
76adantl 482 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) )
8 linccl.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
98sseq2i 3630 . . . . . 6 |- ( V C_ B <-> V C_ ( Base ` M ) )
10 fvex 6201 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` M ) e. _V
1110ssex 4802 . . . . . . . 8 |- ( V C_ ( Base ` M ) -> V e. _V )
12 elpwg 4166 . . . . . . . 8 |- ( V e. _V -> ( V e. ~P ( Base ` M ) <-> V C_ ( Base ` M ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 |- ( V C_ ( Base ` M ) -> ( V e. ~P ( Base ` M ) <-> V C_ ( Base ` M ) ) )
1413ibir 257 . . . . . 6 |- ( V C_ ( Base ` M ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
159, 14sylbi 207 . . . . 5 |- ( V C_ B -> V e. ~P ( Base ` M ) )
16153ad2ant2 1083 . . . 4 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
1716adantl 482 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. ~P ( Base ` M ) )
18 lincval 42198 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ S e. ( ( Base ` (Scalar ` M ) ) ^m V ) /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
191, 7, 17, 18syl3anc 1326 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) = ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) )
20 eqid 2622 . . 3 |- ( 0g ` M ) = ( 0g ` M )
21 lmodcmn 18911 . . . 4 |- ( M e. LMod -> M e. CMnd )
2221adantr 481 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> M e. CMnd )
23 simpr1 1067 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> V e. Fin )
241adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> M e. LMod )
25 fvex 6201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) e. _V
262, 25eqeltri 2697 . . . . . . . . . . 11 |- R e. _V
27 elmapg 7870 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. _V /\ V e. Fin ) -> ( S e. ( R ^m V ) <-> S : V --> R ) )
2826, 27mpan 706 . . . . . . . . . 10 |- ( V e. Fin -> ( S e. ( R ^m V ) <-> S : V --> R ) )
29 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S : V --> R /\ v e. V ) -> ( S ` v ) e. R )
3029ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( S : V --> R -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
3128, 30syl6bi 243 . . . . . . . . 9 |- ( V e. Fin -> ( S e. ( R ^m V ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) ) )
3231imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( V e. Fin /\ S e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
33323adant2 1080 . . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
3433adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V -> ( S ` v ) e. R ) )
3534imp 445 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( S ` v ) e. R )
36 ssel 3597 . . . . . . . 8 |- ( V C_ B -> ( v e. V -> v e. B ) )
37363ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> ( v e. V -> v e. B ) )
3837adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V -> v e. B ) )
3938imp 445 . . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> v e. B )
40 eqid 2622 . . . . . 6 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
41 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
428, 40, 41, 2lmodvscl 18880 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( S ` v ) e. R /\ v e. B ) -> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) e. B )
4324, 35, 39, 42syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) e. B )
44 eqid 2622 . . . 4 |- ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) = ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) )
4543, 44fmptd 6385 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) : V --> B )
4616anim2i 593 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) )
47 simpr3 1069 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S e. ( R ^m V ) )
48 elmapi 7879 . . . . . . 7 |- ( S e. ( R ^m V ) -> S : V --> R )
49483ad2ant3 1084 . . . . . 6 |- ( ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) -> S : V --> R )
5049adantl 482 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S : V --> R )
51 fvexd 6203 . . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( 0g ` (Scalar ` M ) ) e. _V )
5250, 23, 51fdmfifsupp 8285 . . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> S finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) )
5340, 2scmfsupp 42159 . . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ V e. ~P ( Base ` M ) ) /\ S e. ( R ^m V ) /\ S finSupp ( 0g ` (Scalar ` M ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
5446, 47, 52, 53syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) finSupp ( 0g ` M ) )
558, 20, 22, 23, 45, 54gsumcl 18316 . 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( M gsumg ( v e. V |-> ( ( S ` v ) ( .s ` M ) v ) ) ) e. B )
5619, 55eqeltrd 2701 1 |- ( ( M e. LMod /\ ( V e. Fin /\ V C_ B /\ S e. ( R ^m V ) ) ) -> ( S ( linC ` M ) V ) e. B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101  CMndccmn 18193   LModclmod 18863   linC clinc 42193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-linc 42195
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