Theorem lnmlmic 37658

Description: Noetherian is an invariant property of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lnmlmic	|- ( R ~=ph𝑚 S -> ( R e. LNoeM <-> S e. LNoeM ) )

Proof of Theorem lnmlmic

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic 19068	. . 3 |- ( R ~=ph𝑚 S <-> ( R LMIso S ) =/= (/) )
2		n0 3931	. . 3 |- ( ( R LMIso S ) =/= (/) <-> E. a a e. ( R LMIso S ) )
3	1, 2	bitri 264	. 2 |- ( R ~=ph𝑚 S <-> E. a a e. ( R LMIso S ) )
4		lmimlmhm 19064	. . . . . 6 |- ( a e. ( R LMIso S ) -> a e. ( R LMHom S ) )
5	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( a e. ( R LMIso S ) /\ R e. LNoeM ) -> a e. ( R LMHom S ) )
6		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( a e. ( R LMIso S ) /\ R e. LNoeM ) -> R e. LNoeM )
7		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
8		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
9	7, 8	lmimf1o 19063	. . . . . . 7 |- ( a e. ( R LMIso S ) -> a : ( Base ` R ) -1-1-onto-> ( Base ` S ) )
10		f1ofo 6144	. . . . . . 7 |- ( a : ( Base ` R ) -1-1-onto-> ( Base ` S ) -> a : ( Base ` R ) -onto-> ( Base ` S ) )
11		forn 6118	. . . . . . 7 |- ( a : ( Base ` R ) -onto-> ( Base ` S ) -> ran a = ( Base ` S ) )
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . 6 |- ( a e. ( R LMIso S ) -> ran a = ( Base ` S ) )
13	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( a e. ( R LMIso S ) /\ R e. LNoeM ) -> ran a = ( Base ` S ) )
14	8	lnmepi 37655	. . . . 5 |- ( ( a e. ( R LMHom S ) /\ R e. LNoeM /\ ran a = ( Base ` S ) ) -> S e. LNoeM )
15	5, 6, 13, 14	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( a e. ( R LMIso S ) /\ R e. LNoeM ) -> S e. LNoeM )
16		islmim2 19066	. . . . . . 7 |- ( a e. ( R LMIso S ) <-> ( a e. ( R LMHom S ) /\ `' a e. ( S LMHom R ) ) )
17	16	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( a e. ( R LMIso S ) -> `' a e. ( S LMHom R ) )
18	17	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( a e. ( R LMIso S ) /\ S e. LNoeM ) -> `' a e. ( S LMHom R ) )
19		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( a e. ( R LMIso S ) /\ S e. LNoeM ) -> S e. LNoeM )
20		dfdm4 5316	. . . . . 6 |- dom a = ran `' a
21		f1odm 6141	. . . . . . . 8 |- ( a : ( Base ` R ) -1-1-onto-> ( Base ` S ) -> dom a = ( Base ` R ) )
22	9, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( a e. ( R LMIso S ) -> dom a = ( Base ` R ) )
23	22	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( R LMIso S ) /\ S e. LNoeM ) -> dom a = ( Base ` R ) )
24	20, 23	syl5eqr 2670	. . . . 5 |- ( ( a e. ( R LMIso S ) /\ S e. LNoeM ) -> ran `' a = ( Base ` R ) )
25	7	lnmepi 37655	. . . . 5 |- ( ( `' a e. ( S LMHom R ) /\ S e. LNoeM /\ ran `' a = ( Base ` R ) ) -> R e. LNoeM )
26	18, 19, 24, 25	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( a e. ( R LMIso S ) /\ S e. LNoeM ) -> R e. LNoeM )
27	15, 26	impbida 877	. . 3 |- ( a e. ( R LMIso S ) -> ( R e. LNoeM <-> S e. LNoeM ) )
28	27	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. a a e. ( R LMIso S ) -> ( R e. LNoeM <-> S e. LNoeM ) )
29	3, 28	sylbi 207	1 |- ( R ~=ph𝑚 S -> ( R e. LNoeM <-> S e. LNoeM ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   LMHom clmhm 19019   LMIso clmim 19020   ~=ph_𝑚 clmic 19021  LNoeMclnm 37645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lmhm 19022  df-lmim 19023  df-lmic 19024  df-lfig 37638  df-lnm 37646

This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  37663