Theorem lnopunilem2 28870

Description: Lemma for lnopunii 28871. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopunilem.1	|- T e. LinOp
lnopunilem.2	|- A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x )
lnopunilem.3	|- A e. ~H
lnopunilem.4	|- B e. ~H

Assertion

Ref	Expression
lnopunilem2	|- ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) = ( A .ih B )

Distinct variable group:   x, T

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem lnopunilem2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( y = if ( y e. CC , y , 0 ) -> ( y x. ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) ) = ( if ( y e. CC , y , 0 ) x. ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) ) )
2	1	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( y = if ( y e. CC , y , 0 ) -> ( Re ` ( y x. ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) ) ) = ( Re ` ( if ( y e. CC , y , 0 ) x. ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) ) ) )
3		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( y = if ( y e. CC , y , 0 ) -> ( y x. ( A .ih B ) ) = ( if ( y e. CC , y , 0 ) x. ( A .ih B ) ) )
4	3	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( y = if ( y e. CC , y , 0 ) -> ( Re ` ( y x. ( A .ih B ) ) ) = ( Re ` ( if ( y e. CC , y , 0 ) x. ( A .ih B ) ) ) )
5	2, 4	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( y = if ( y e. CC , y , 0 ) -> ( ( Re ` ( y x. ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) ) ) = ( Re ` ( y x. ( A .ih B ) ) ) <-> ( Re ` ( if ( y e. CC , y , 0 ) x. ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) ) ) = ( Re ` ( if ( y e. CC , y , 0 ) x. ( A .ih B ) ) ) ) )
6		lnopunilem.1	. . . . 5 |- T e. LinOp
7		lnopunilem.2	. . . . 5 |- A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) = ( normh ` x )
8		lnopunilem.3	. . . . 5 |- A e. ~H
9		lnopunilem.4	. . . . 5 |- B e. ~H
10		0cn 10032	. . . . . 6 |- 0 e. CC
11	10	elimel 4150	. . . . 5 |- if ( y e. CC , y , 0 ) e. CC
12	6, 7, 8, 9, 11	lnopunilem1 28869	. . . 4 |- ( Re ` ( if ( y e. CC , y , 0 ) x. ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) ) ) = ( Re ` ( if ( y e. CC , y , 0 ) x. ( A .ih B ) ) )
13	5, 12	dedth 4139	. . 3 |- ( y e. CC -> ( Re ` ( y x. ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) ) ) = ( Re ` ( y x. ( A .ih B ) ) ) )
14	13	rgen 2922	. 2 |- A. y e. CC ( Re ` ( y x. ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) ) ) = ( Re ` ( y x. ( A .ih B ) ) )
15	6	lnopfi 28828	. . . . . 6 |- T : ~H --> ~H
16	15	ffvelrni 6358	. . . . 5 |- ( A e. ~H -> ( T ` A ) e. ~H )
17	8, 16	ax-mp 5	. . . 4 |- ( T ` A ) e. ~H
18	15	ffvelrni 6358	. . . . 5 |- ( B e. ~H -> ( T ` B ) e. ~H )
19	9, 18	ax-mp 5	. . . 4 |- ( T ` B ) e. ~H
20	17, 19	hicli 27938	. . 3 |- ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) e. CC
21	8, 9	hicli 27938	. . 3 |- ( A .ih B ) e. CC
22		recan 14076	. . 3 |- ( ( ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) e. CC /\ ( A .ih B ) e. CC ) -> ( A. y e. CC ( Re ` ( y x. ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) ) ) = ( Re ` ( y x. ( A .ih B ) ) ) <-> ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) = ( A .ih B ) ) )
23	20, 21, 22	mp2an 708	. 2 |- ( A. y e. CC ( Re ` ( y x. ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) ) ) = ( Re ` ( y x. ( A .ih B ) ) ) <-> ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) = ( A .ih B ) )
24	14, 23	mpbi 220	1 |- ( ( T ` A ) .ih ( T ` B ) ) = ( A .ih B )

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ifcif 4086   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   x. cmul 9941   Recre 13837   ~Hchil 27776   .ih csp 27779   normhcno 27780   LinOpclo 27804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-hnorm 27825  df-lnop 28700

This theorem is referenced by:  lnopunii  28871