lnopunilem1 - Hilbert Space Explorer

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Theorem lnopunilem1 28869

Description: Lemma for lnopunii 28871. (Contributed by NM, 14-May-2005.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lnopunilem.1
lnopunilem.2
lnopunilem.3
lnopunilem.4
lnopunilem1.5

**Assertion**
Ref	Expression
lnopunilem1

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem lnopunilem1 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnopunilem1.5	. . . 4
2		lnopunilem.3	. . . . . 6
3		lnopunilem.1	. . . . . . . 8
4	3	lnopfi 28828	. . . . . . 7
5	4	ffvelrni 6358	. . . . . 6
6	2, 5	ax-mp 5	. . . . 5
7		lnopunilem.4	. . . . . 6
8	4	ffvelrni 6358	. . . . . 6
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5
10	6, 9	hicli 27938	. . . 4
11	1, 10	mulcli 10045	. . 3
12		reval 13846	. . 3
13	11, 12	ax-mp 5	. 2
14	2, 7	hicli 27938	. . . . 5
15	1, 14	mulcli 10045	. . . 4
16		reval 13846	. . . 4
17	15, 16	ax-mp 5	. . 3
18		lnopunilem.2	. . . . . . . . . . . . 13
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
21		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
22	20, 21	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14
23	22	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . 13
24	18, 23	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12
25		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
26	4	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . 16
27		normsq 27991	. . . . . . . . . . . . . . . 16
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
29		normsq 27991	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	28, 29	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14
31	25, 30	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . 13
32	31	ralimia 2950	. . . . . . . . . . . 12
33	24, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
35	34, 34	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
36		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14
37	36, 36	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
38	35, 37	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12
39	38	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11
40	2, 33, 39	mp2 9	. . . . . . . . . 10
41	40	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9
42	41	oveq2i 6661	. . . . . . . 8
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
44	43, 43	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
45		id 22	. . . . . . . . . . . 12
46	45, 45	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
47	44, 46	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10
48	47	rspcv 3305	. . . . . . . . 9
49	7, 33, 48	mp2 9	. . . . . . . 8
50	42, 49	oveq12i 6662	. . . . . . 7
51	50	oveq1i 6660	. . . . . 6
52	1	cjcli 13909	. . . . . . . . . 10
53	6, 6	hicli 27938	. . . . . . . . . 10
54	52, 53	mulcli 10045	. . . . . . . . 9
55	1, 54	mulcli 10045	. . . . . . . 8
56	9, 9	hicli 27938	. . . . . . . 8
57	11	cjcli 13909	. . . . . . . 8
58	55, 56, 11, 57	add42i 10261	. . . . . . 7
59	2, 2	hicli 27938	. . . . . . . . . . 11
60	52, 59	mulcli 10045	. . . . . . . . . 10
61	1, 60	mulcli 10045	. . . . . . . . 9
62	7, 7	hicli 27938	. . . . . . . . 9
63	15	cjcli 13909	. . . . . . . . 9
64	61, 62, 15, 63	add42i 10261	. . . . . . . 8
65	1, 2	hvmulcli 27871	. . . . . . . . . . . 12
66	65, 7	hvaddcli 27875	. . . . . . . . . . 11
67		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
68	67, 67	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
69		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14
70	69, 69	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
71	68, 70	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12
72	71	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11
73	66, 33, 72	mp2 9	. . . . . . . . . 10
74		ax-his2 27940	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
75	65, 7, 66, 74	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10
76		ax-his3 27941	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	1, 2, 66, 76	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12
78		his7 27947	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	2, 65, 7, 78	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14
80		his5 27943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
81	1, 2, 2, 80	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . 15
82	81	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14
83	79, 82	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13
84	83	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
85	1, 60, 14	adddii 10050	. . . . . . . . . . . 12
86	77, 84, 85	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11
87		his7 27947	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
88	7, 65, 7, 87	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12
89		his5 27943	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
90	1, 7, 2, 89	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14
91	1, 14	cjmuli 13929	. . . . . . . . . . . . . . 15
92	7, 2	his1i 27957	. . . . . . . . . . . . . . . 16
93	92	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	91, 93	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . 14
95	90, 94	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13
96	95	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
97	88, 96	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11
98	86, 97	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10
99	73, 75, 98	3eqtrri 2649	. . . . . . . . 9
100	3	lnopli 28827	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
101	1, 2, 7, 100	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11
102	101, 101	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10
103	1, 6	hvmulcli 27871	. . . . . . . . . . 11
104	103, 9	hvaddcli 27875	. . . . . . . . . . 11
105		ax-his2 27940	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
106	103, 9, 104, 105	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10
107	102, 106	eqtri 2644	. . . . . . . . 9
108		ax-his3 27941	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
109	1, 6, 104, 108	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11
110		his7 27947	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
111	6, 103, 9, 110	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13
112		his5 27943	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
113	1, 6, 6, 112	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14
114	113	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13
115	111, 114	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12
116	115	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
117	1, 54, 10	adddii 10050	. . . . . . . . . . 11
118	109, 116, 117	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10
119		his7 27947	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
120	9, 103, 9, 119	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11
121		his5 27943	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
122	1, 9, 6, 121	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13
123	1, 10	cjmuli 13929	. . . . . . . . . . . . . 14
124	9, 6	his1i 27957	. . . . . . . . . . . . . . 15
125	124	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14
126	123, 125	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13
127	122, 126	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . 12
128	127	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11
129	120, 128	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10
130	118, 129	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9
131	99, 107, 130	3eqtrri 2649	. . . . . . . 8
132	64, 131	eqtr4i 2647	. . . . . . 7
133	58, 132	eqtr4i 2647	. . . . . 6
134	51, 133	eqtr3i 2646	. . . . 5
135	61, 62	addcli 10044	. . . . . 6
136	11, 57	addcli 10044	. . . . . 6
137	15, 63	addcli 10044	. . . . . 6
138	135, 136, 137	addcani 10229	. . . . 5
139	134, 138	mpbi 220	. . . 4
140	139	oveq1i 6660	. . 3
141	17, 140	eqtr4i 2647	. 2
142	13, 141	eqtr4i 2647	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

caddc 9939

cmul 9941

cdiv 10684

c2 11070

cexp 12860

ccj 13836

cre 13837

chil 27776

cva 27777

csm 27778

csp 27779

cno 27780

clo 27804

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-hilex 27856 ax-hfvadd 27857 ax-hv0cl 27860 ax-hfvmul 27862 ax-hvmul0 27867 ax-hfi 27936 ax-his1 27939 ax-his2 27940 ax-his3 27941 ax-his4 27942

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-hnorm 27825 df-lnop 28700

This theorem is referenced by: lnopunilem2 28870

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