Theorem zringlpir 19837

Description: The integers are a principal ideal ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
zringlpir	|- ℤring e. LPIR

Proof of Theorem zringlpir

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 19821	. 2 |- ℤring e. Ring
2		eleq1 2689	. . . 4 |- ( x = { 0 } -> ( x e. (LPIdeal ` ℤring ) <-> { 0 } e. (LPIdeal ` ℤring ) ) )
3		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x e. (LIdeal ` ℤring ) /\ x =/= { 0 } ) -> x e. (LIdeal ` ℤring ) )
4		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( x e. (LIdeal ` ℤring ) /\ x =/= { 0 } ) -> x =/= { 0 } )
5		eqid 2622	. . . . . . 7 |- inf ( ( x i^i NN ) , RR , < ) = inf ( ( x i^i NN ) , RR , < )
6	3, 4, 5	zringlpirlem2 19833	. . . . . 6 |- ( ( x e. (LIdeal ` ℤring ) /\ x =/= { 0 } ) -> inf ( ( x i^i NN ) , RR , < ) e. x )
7		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. (LIdeal ` ℤring ) /\ x =/= { 0 } ) /\ z e. x ) -> x e. (LIdeal ` ℤring ) )
8		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. (LIdeal ` ℤring ) /\ x =/= { 0 } ) /\ z e. x ) -> x =/= { 0 } )
9		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. (LIdeal ` ℤring ) /\ x =/= { 0 } ) /\ z e. x ) -> z e. x )
10	7, 8, 5, 9	zringlpirlem3 19834	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. (LIdeal ` ℤring ) /\ x =/= { 0 } ) /\ z e. x ) -> inf ( ( x i^i NN ) , RR , < ) || z )
11	10	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( x e. (LIdeal ` ℤring ) /\ x =/= { 0 } ) -> A. z e. x inf ( ( x i^i NN ) , RR , < ) || z )
12		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( y = inf ( ( x i^i NN ) , RR , < ) -> ( y || z <-> inf ( ( x i^i NN ) , RR , < ) || z ) )
13	12	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( y = inf ( ( x i^i NN ) , RR , < ) -> ( A. z e. x y || z <-> A. z e. x inf ( ( x i^i NN ) , RR , < ) || z ) )
14	13	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( (inf ( ( x i^i NN ) , RR , < ) e. x /\ A. z e. x inf ( ( x i^i NN ) , RR , < ) || z ) -> E. y e. x A. z e. x y || z )
15	6, 11, 14	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( x e. (LIdeal ` ℤring ) /\ x =/= { 0 } ) -> E. y e. x A. z e. x y || z )
16		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (LIdeal ` ℤring ) = (LIdeal ` ℤring )
17		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (LPIdeal ` ℤring ) = (LPIdeal ` ℤring )
18		dvdsrzring 19831	. . . . . . . 8 |- || = ( ||r ` ℤring )
19	16, 17, 18	lpigen 19256	. . . . . . 7 |- ( (ℤring e. Ring /\ x e. (LIdeal ` ℤring ) ) -> ( x e. (LPIdeal ` ℤring ) <-> E. y e. x A. z e. x y || z ) )
20	1, 19	mpan 706	. . . . . 6 |- ( x e. (LIdeal ` ℤring ) -> ( x e. (LPIdeal ` ℤring ) <-> E. y e. x A. z e. x y || z ) )
21	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( x e. (LIdeal ` ℤring ) /\ x =/= { 0 } ) -> ( x e. (LPIdeal ` ℤring ) <-> E. y e. x A. z e. x y || z ) )
22	15, 21	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( x e. (LIdeal ` ℤring ) /\ x =/= { 0 } ) -> x e. (LPIdeal ` ℤring ) )
23		zring0 19828	. . . . . 6 |- 0 = ( 0g ` ℤring )
24	17, 23	lpi0 19247	. . . . 5 |- (ℤring e. Ring -> { 0 } e. (LPIdeal ` ℤring ) )
25	1, 24	mp1i 13	. . . 4 |- ( x e. (LIdeal ` ℤring ) -> { 0 } e. (LPIdeal ` ℤring ) )
26	2, 22, 25	pm2.61ne 2879	. . 3 |- ( x e. (LIdeal ` ℤring ) -> x e. (LPIdeal ` ℤring ) )
27	26	ssriv 3607	. 2 |- (LIdeal ` ℤring ) C_ (LPIdeal ` ℤring )
28	17, 16	islpir2 19251	. 2 |- (ℤring e. LPIR <-> (ℤring e. Ring /\ (LIdeal ` ℤring ) C_ (LPIdeal ` ℤring ) ) )
29	1, 27, 28	mpbir2an 955	1 |- ℤring e. LPIR

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   NNcn 11020   || cdvds 14983   Ringcrg 18547  LIdealclidl 19170  LPIdealclpidl 19241  LPIRclpir 19242  ℤ_ringzring 19818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-dvdsr 18641  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-lpidl 19243  df-lpir 19244  df-cnfld 19747  df-zring 19819

This theorem is referenced by: (None)