Theorem lssacs 18967

Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssacs.b	|- B = ( Base ` W )
lssacs.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssacs	|- ( W e. LMod -> S e. (ACS ` B ) )

Proof of Theorem lssacs

Dummy variables a b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssacs.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` W )
2		lssacs.s	. . . . . 6 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssss 18937	. . . . 5 |- ( a e. S -> a C_ B )
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( a e. S -> a C_ B ) )
5		inss2 3834	. . . . . . . 8 |- ( (SubGrp ` W ) i^i { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) C_ { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b }
6		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } C_ ~P B
7	5, 6	sstri 3612	. . . . . . 7 |- ( (SubGrp ` W ) i^i { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) C_ ~P B
8	7	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( a e. ( (SubGrp ` W ) i^i { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) -> a e. ~P B )
9	8	elpwid 4170	. . . . 5 |- ( a e. ( (SubGrp ` W ) i^i { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) -> a C_ B )
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( a e. ( (SubGrp ` W ) i^i { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) -> a C_ B ) )
11		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
12		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
13		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
14	11, 12, 1, 13, 2	islss4 18962	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> ( a e. S <-> ( a e. (SubGrp ` W ) /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. a ( x ( .s ` W ) y ) e. a ) ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ a C_ B ) -> ( a e. S <-> ( a e. (SubGrp ` W ) /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. a ( x ( .s ` W ) y ) e. a ) ) )
16		selpw 4165	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ~P B <-> a C_ B )
17		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = a -> ( ( x ( .s ` W ) y ) e. b <-> ( x ( .s ` W ) y ) e. a ) )
18	17	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = a -> ( A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b <-> A. y e. a ( x ( .s ` W ) y ) e. a ) )
19	18	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = a -> ( A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b <-> A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. a ( x ( .s ` W ) y ) e. a ) )
20	19	elrab3 3364	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ~P B -> ( a e. { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } <-> A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. a ( x ( .s ` W ) y ) e. a ) )
21	16, 20	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( a C_ B -> ( a e. { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } <-> A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. a ( x ( .s ` W ) y ) e. a ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ a C_ B ) -> ( a e. { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } <-> A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. a ( x ( .s ` W ) y ) e. a ) )
23	22	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ a C_ B ) -> ( ( a e. (SubGrp ` W ) /\ a e. { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) <-> ( a e. (SubGrp ` W ) /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. a ( x ( .s ` W ) y ) e. a ) ) )
24	15, 23	bitr4d 271	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ a C_ B ) -> ( a e. S <-> ( a e. (SubGrp ` W ) /\ a e. { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) ) )
25		elin 3796	. . . . . 6 |- ( a e. ( (SubGrp ` W ) i^i { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) <-> ( a e. (SubGrp ` W ) /\ a e. { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) )
26	24, 25	syl6bbr 278	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ a C_ B ) -> ( a e. S <-> a e. ( (SubGrp ` W ) i^i { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) ) )
27	26	ex 450	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( a C_ B -> ( a e. S <-> a e. ( (SubGrp ` W ) i^i { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) ) ) )
28	4, 10, 27	pm5.21ndd 369	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( a e. S <-> a e. ( (SubGrp ` W ) i^i { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) ) )
29	28	eqrdv 2620	. 2 |- ( W e. LMod -> S = ( (SubGrp ` W ) i^i { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) )
30		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` W ) e. _V
31	1, 30	eqeltri 2697	. . . 4 |- B e. _V
32		mreacs 16319	. . . 4 |- ( B e. _V -> (ACS ` B ) e. (Moore ` ~P B ) )
33	31, 32	mp1i 13	. . 3 |- ( W e. LMod -> (ACS ` B ) e. (Moore ` ~P B ) )
34		lmodgrp 18870	. . . 4 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
35	1	subgacs 17629	. . . 4 |- ( W e. Grp -> (SubGrp ` W ) e. (ACS ` B ) )
36	34, 35	syl 17	. . 3 |- ( W e. LMod -> (SubGrp ` W ) e. (ACS ` B ) )
37	1, 11, 13, 12	lmodvscl 18880	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ y e. B ) -> ( x ( .s ` W ) y ) e. B )
38	37	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` W ) y ) e. B )
39	38	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( W e. LMod -> A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. B ( x ( .s ` W ) y ) e. B )
40		acsfn1c 16323	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. B ( x ( .s ` W ) y ) e. B ) -> { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } e. (ACS ` B ) )
41	31, 39, 40	sylancr 695	. . 3 |- ( W e. LMod -> { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } e. (ACS ` B ) )
42		mreincl 16259	. . 3 |- ( ( (ACS ` B ) e. (Moore ` ~P B ) /\ (SubGrp ` W ) e. (ACS ` B ) /\ { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } e. (ACS ` B ) ) -> ( (SubGrp ` W ) i^i { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) e. (ACS ` B ) )
43	33, 36, 41, 42	syl3anc 1326	. 2 |- ( W e. LMod -> ( (SubGrp ` W ) i^i { b e. ~P B | A. x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) A. y e. b ( x ( .s ` W ) y ) e. b } ) e. (ACS ` B ) )
44	29, 43	eqeltrd 2701	1 |- ( W e. LMod -> S e. (ACS ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945  Moorecmre 16242  ACScacs 16245   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933

This theorem is referenced by:  lssacsex  19144  lidlacs  19221