Theorem ltexprlem4 9861

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = { x | E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem4	|- ( B e. P. -> ( x e. C -> E. z ( z e. C /\ x <Q z ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   x, C, z

Allowed substitution hint:   C( y)

Proof of Theorem ltexprlem4

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 9817	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> E. w e. B ( y +Q x ) <Q w )
2		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 |- ( E. w e. B ( y +Q x ) <Q w <-> E. w ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) )
3	1, 2	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> E. w ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) )
4		ltrelnq 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
5	4	brel 5168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y +Q x ) <Q w -> ( ( y +Q x ) e. Q. /\ w e. Q. ) )
6	5	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y +Q x ) <Q w -> ( y +Q x ) e. Q. )
7		addnqf 9770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- +Q : ( Q. X. Q. ) --> Q.
8	7	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- dom +Q = ( Q. X. Q. )
9		0nnq 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -. (/) e. Q.
10	8, 9	ndmovrcl 6820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y +Q x ) e. Q. -> ( y e. Q. /\ x e. Q. ) )
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y +Q x ) <Q w -> ( y e. Q. /\ x e. Q. ) )
12		ltaddnq 9796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. Q. /\ x e. Q. ) -> y <Q ( y +Q x ) )
13		ltsonq 9791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- <Q Or Q.
14	13, 4	sotri 5523	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y <Q ( y +Q x ) /\ ( y +Q x ) <Q w ) -> y <Q w )
15	12, 14	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. Q. /\ x e. Q. ) /\ ( y +Q x ) <Q w ) -> y <Q w )
16	11, 15	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y +Q x ) <Q w -> y <Q w )
17	4	brel 5168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y <Q w -> ( y e. Q. /\ w e. Q. ) )
18	17	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y <Q w -> w e. Q. )
19		ltexnq 9797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. Q. -> ( y <Q w <-> E. z ( y +Q z ) = w ) )
20	19	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w e. Q. -> ( y <Q w -> E. z ( y +Q z ) = w ) )
21	18, 20	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y <Q w -> E. z ( y +Q z ) = w )
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y +Q x ) <Q w -> E. z ( y +Q z ) = w )
23		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( y +Q z ) <-> ( y +Q z ) = w )
24	23	exbii 1774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. z w = ( y +Q z ) <-> E. z ( y +Q z ) = w )
25	22, 24	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y +Q x ) <Q w -> E. z w = ( y +Q z ) )
26	25	ancri 575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y +Q x ) <Q w -> ( E. z w = ( y +Q z ) /\ ( y +Q x ) <Q w ) )
27	26	anim2i 593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) -> ( w e. B /\ ( E. z w = ( y +Q z ) /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) )
28		an12 838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E. z w = ( y +Q z ) /\ ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) <-> ( w e. B /\ ( E. z w = ( y +Q z ) /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) )
29	27, 28	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) -> ( E. z w = ( y +Q z ) /\ ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) )
30		19.41v 1914	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z ( w = ( y +Q z ) /\ ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) <-> ( E. z w = ( y +Q z ) /\ ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) )
31	29, 30	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) -> E. z ( w = ( y +Q z ) /\ ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) )
32	31	eximi 1762	. . . . . . . . 9 |- ( E. w ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) -> E. w E. z ( w = ( y +Q z ) /\ ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) )
33		excom 2042	. . . . . . . . 9 |- ( E. z E. w ( w = ( y +Q z ) /\ ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) <-> E. w E. z ( w = ( y +Q z ) /\ ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) )
34	32, 33	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( E. w ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) -> E. z E. w ( w = ( y +Q z ) /\ ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) )
35		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( y +Q z ) e. _V
36		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( y +Q z ) -> ( w e. B <-> ( y +Q z ) e. B ) )
37		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( y +Q z ) -> ( ( y +Q x ) <Q w <-> ( y +Q x ) <Q ( y +Q z ) ) )
38	36, 37	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( y +Q z ) -> ( ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) <-> ( ( y +Q z ) e. B /\ ( y +Q x ) <Q ( y +Q z ) ) ) )
39	35, 38	ceqsexv 3242	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w ( w = ( y +Q z ) /\ ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) <-> ( ( y +Q z ) e. B /\ ( y +Q x ) <Q ( y +Q z ) ) )
40		ltanq 9793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Q. -> ( x <Q z <-> ( y +Q x ) <Q ( y +Q z ) ) )
41	8, 4, 9, 40	ndmovordi 6825	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y +Q x ) <Q ( y +Q z ) -> x <Q z )
42	41	anim2i 593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y +Q z ) e. B /\ ( y +Q x ) <Q ( y +Q z ) ) -> ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) )
43	39, 42	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( E. w ( w = ( y +Q z ) /\ ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) -> ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) )
44	43	eximi 1762	. . . . . . . 8 |- ( E. z E. w ( w = ( y +Q z ) /\ ( w e. B /\ ( y +Q x ) <Q w ) ) -> E. z ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) )
45	3, 34, 44	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> E. z ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) )
46	45	anim2i 593	. . . . . 6 |- ( ( -. y e. A /\ ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) ) -> ( -. y e. A /\ E. z ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) )
47	46	an12s 843	. . . . 5 |- ( ( B e. P. /\ ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) ) -> ( -. y e. A /\ E. z ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) )
48		19.42v 1918	. . . . 5 |- ( E. z ( -. y e. A /\ ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) <-> ( -. y e. A /\ E. z ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) )
49	47, 48	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) ) -> E. z ( -. y e. A /\ ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) )
50	49	ex 450	. . 3 |- ( B e. P. -> ( ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) -> E. z ( -. y e. A /\ ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) ) )
51	50	eximdv 1846	. 2 |- ( B e. P. -> ( E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) -> E. y E. z ( -. y e. A /\ ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) ) )
52		ltexprlem.1	. . 3 |- C = { x | E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }
53	52	abeq2i 2735	. 2 |- ( x e. C <-> E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) )
54		vex 3203	. . . . . . 7 |- z e. _V
55		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( y +Q x ) = ( y +Q z ) )
56	55	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( y +Q x ) e. B <-> ( y +Q z ) e. B ) )
57	56	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) <-> ( -. y e. A /\ ( y +Q z ) e. B ) ) )
58	57	exbidv 1850	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) <-> E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q z ) e. B ) ) )
59	54, 58, 52	elab2 3354	. . . . . 6 |- ( z e. C <-> E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q z ) e. B ) )
60	59	anbi1i 731	. . . . 5 |- ( ( z e. C /\ x <Q z ) <-> ( E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q z ) e. B ) /\ x <Q z ) )
61		19.41v 1914	. . . . 5 |- ( E. y ( ( -. y e. A /\ ( y +Q z ) e. B ) /\ x <Q z ) <-> ( E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q z ) e. B ) /\ x <Q z ) )
62		anass 681	. . . . . 6 |- ( ( ( -. y e. A /\ ( y +Q z ) e. B ) /\ x <Q z ) <-> ( -. y e. A /\ ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) )
63	62	exbii 1774	. . . . 5 |- ( E. y ( ( -. y e. A /\ ( y +Q z ) e. B ) /\ x <Q z ) <-> E. y ( -. y e. A /\ ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) )
64	60, 61, 63	3bitr2i 288	. . . 4 |- ( ( z e. C /\ x <Q z ) <-> E. y ( -. y e. A /\ ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) )
65	64	exbii 1774	. . 3 |- ( E. z ( z e. C /\ x <Q z ) <-> E. z E. y ( -. y e. A /\ ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) )
66		excom 2042	. . 3 |- ( E. y E. z ( -. y e. A /\ ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) <-> E. z E. y ( -. y e. A /\ ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) )
67	65, 66	bitr4i 267	. 2 |- ( E. z ( z e. C /\ x <Q z ) <-> E. y E. z ( -. y e. A /\ ( ( y +Q z ) e. B /\ x <Q z ) ) )
68	51, 53, 67	3imtr4g 285	1 |- ( B e. P. -> ( x e. C -> E. z ( z e. C /\ x <Q z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   X. cxp 5112  (class class class)co 6650   Q.cnq 9674   +Q cplq 9677   <Q cltq 9680   P.cnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-ltnq 9740  df-np 9803

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9862