Theorem mpct 39393

Description: The exponentiation of a countable set to a finite set is countable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpct.a	|- ( ph -> A ~<_ om )
mpct.b	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
mpct	|- ( ph -> ( A ^m B ) ~<_ om )

Proof of Theorem mpct

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . 3 |- ( x = (/) -> ( A ^m x ) = ( A ^m (/) ) )
2	1	breq1d 4663	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( A ^m x ) ~<_ om <-> ( A ^m (/) ) ~<_ om ) )
3		oveq2 6658	. . 3 |- ( x = y -> ( A ^m x ) = ( A ^m y ) )
4	3	breq1d 4663	. 2 |- ( x = y -> ( ( A ^m x ) ~<_ om <-> ( A ^m y ) ~<_ om ) )
5		oveq2 6658	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A ^m x ) = ( A ^m ( y u. { z } ) ) )
6	5	breq1d 4663	. 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( A ^m x ) ~<_ om <-> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~<_ om ) )
7		oveq2 6658	. . 3 |- ( x = B -> ( A ^m x ) = ( A ^m B ) )
8	7	breq1d 4663	. 2 |- ( x = B -> ( ( A ^m x ) ~<_ om <-> ( A ^m B ) ~<_ om ) )
9		mpct.a	. . . . 5 |- ( ph -> A ~<_ om )
10		ctex 7970	. . . . 5 |- ( A ~<_ om -> A e. _V )
11	9, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
12		mapdm0 7872	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A ^m (/) ) = { (/) } )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( A ^m (/) ) = { (/) } )
14		snfi 8038	. . . . 5 |- { (/) } e. Fin
15		fict 8550	. . . . 5 |- ( { (/) } e. Fin -> { (/) } ~<_ om )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . 4 |- { (/) } ~<_ om
17	16	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { (/) } ~<_ om )
18	13, 17	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( A ^m (/) ) ~<_ om )
19		vex 3203	. . . . . 6 |- y e. _V
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ om ) -> y e. _V )
21		snex 4908	. . . . . 6 |- { z } e. _V
22	21	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ om ) -> { z } e. _V )
23	11	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ om ) -> A e. _V )
24		eldifn 3733	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( B \ y ) -> -. z e. y )
25		disjsn 4246	. . . . . . . 8 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
26	24, 25	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( z e. ( B \ y ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
27	26	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
28	27	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ om ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
29		mapunen 8129	. . . . 5 |- ( ( ( y e. _V /\ { z } e. _V /\ A e. _V ) /\ ( y i^i { z } ) = (/) ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) )
30	20, 22, 23, 28, 29	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ om ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) )
31		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ om ) -> ( A ^m y ) ~<_ om )
32		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> z e. _V )
34	11, 33	mapsnend 39391	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ^m { z } ) ~~ A )
35		endomtr 8014	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^m { z } ) ~~ A /\ A ~<_ om ) -> ( A ^m { z } ) ~<_ om )
36	34, 9, 35	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ^m { z } ) ~<_ om )
37	36	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ om ) -> ( A ^m { z } ) ~<_ om )
38		xpct 8839	. . . . 5 |- ( ( ( A ^m y ) ~<_ om /\ ( A ^m { z } ) ~<_ om ) -> ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) ~<_ om )
39	31, 37, 38	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ om ) -> ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) ~<_ om )
40		endomtr 8014	. . . 4 |- ( ( ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~~ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) /\ ( ( A ^m y ) X. ( A ^m { z } ) ) ~<_ om ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~<_ om )
41	30, 39, 40	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A ^m y ) ~<_ om ) -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~<_ om )
42	41	ex 450	. 2 |- ( ( ph /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( ( A ^m y ) ~<_ om -> ( A ^m ( y u. { z } ) ) ~<_ om ) )
43		mpct.b	. 2 |- ( ph -> B e. Fin )
44	2, 4, 6, 8, 18, 42, 43	findcard2d 8202	1 |- ( ph -> ( A ^m B ) ~<_ om )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112  (class class class)co 6650   omcom 7065   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765

This theorem is referenced by:  opnvonmbllem2  40847  smfmullem4  41001