Theorem smfmullem4 41001

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmullem4.x	|- F/ x ph
smfmullem4.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smfmullem4.a	|- ( ph -> A e. V )
smfmullem4.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
smfmullem4.d	|- ( ( ph /\ x e. C ) -> D e. RR )
smfmullem4.m	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. (SMblFn ` S ) )
smfmullem4.n	|- ( ph -> ( x e. C |-> D ) e. (SMblFn ` S ) )
smfmullem4.r	|- ( ph -> R e. RR )
smfmullem4.k	|- K = { q e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) | A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < R }
smfmullem4.e	|- E = ( q e. K |-> { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } )

Assertion

Ref	Expression
smfmullem4	|- ( ph -> { x e. ( A i^i C ) | ( B x. D ) < R } e. ( S ↾t ( A i^i C ) ) )

Distinct variable groups:   A, q, u, v, x   B, q, u, v   C, q, u, v, x   D, q, u, v   K, q, x   R, q, u, v   S, q   ph, q, u, v

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   D( x)   R( x)   S( x, v, u)   E( x, v, u, q)   K( v, u)   V( x, v, u, q)

Proof of Theorem smfmullem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem4.x	. . . . 5 |- F/ x ph
2		smfmullem4.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. RR )
3	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) /\ ( B x. D ) < R ) -> R e. RR )
4		smfmullem4.k	. . . . . . . . 9 |- K = { q e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) | A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < R }
5		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A i^i C ) C_ A
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A i^i C ) C_ A )
7	6	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) -> x e. A )
8		smfmullem4.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
9	7, 8	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) -> B e. RR )
10	9	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) /\ ( B x. D ) < R ) -> B e. RR )
11		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A i^i C ) -> x e. C )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) -> x e. C )
13		smfmullem4.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> D e. RR )
14	12, 13	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) -> D e. RR )
15	14	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) /\ ( B x. D ) < R ) -> D e. RR )
16		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) /\ ( B x. D ) < R ) -> ( B x. D ) < R )
17		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( ( R - ( B x. D ) ) / ( 1 + ( ( abs ` B ) + ( abs ` D ) ) ) ) = ( ( R - ( B x. D ) ) / ( 1 + ( ( abs ` B ) + ( abs ` D ) ) ) )
18		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- if ( 1 <_ ( ( R - ( B x. D ) ) / ( 1 + ( ( abs ` B ) + ( abs ` D ) ) ) ) , 1 , ( ( R - ( B x. D ) ) / ( 1 + ( ( abs ` B ) + ( abs ` D ) ) ) ) ) = if ( 1 <_ ( ( R - ( B x. D ) ) / ( 1 + ( ( abs ` B ) + ( abs ` D ) ) ) ) , 1 , ( ( R - ( B x. D ) ) / ( 1 + ( ( abs ` B ) + ( abs ` D ) ) ) ) )
19	3, 4, 10, 15, 16, 17, 18	smfmullem3 41000	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) /\ ( B x. D ) < R ) -> E. q e. K ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) )
20		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } <-> ( x e. ( A i^i C ) /\ ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) )
21	20	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ( A i^i C ) /\ ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) <-> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } )
22	21	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( A i^i C ) /\ ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) -> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } )
23	22	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) /\ ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) -> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } )
24	23	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) /\ q e. K ) /\ ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) -> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } )
25		smfmullem4.e	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E = ( q e. K |-> { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } )
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E = ( q e. K |-> { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } ) )
27		inrab 3899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { x e. ( A i^i C ) | B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) } i^i { x e. ( A i^i C ) | D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) } ) = { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) }
28		smfmullem4.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> S e. SAlg )
29		smfmullem4.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> A e. V )
30	29, 6	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( A i^i C ) e. _V )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( S ↾t ( A i^i C ) ) = ( S ↾t ( A i^i C ) )
32	28, 30, 31	subsalsal 40577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( S ↾t ( A i^i C ) ) e. SAlg )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( S ↾t ( A i^i C ) ) e. SAlg )
34		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x q e. K
35	1, 34	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x ( ph /\ q e. K )
36	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> S e. SAlg )
37	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( A i^i C ) e. _V )
38	9	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ q e. K ) /\ x e. ( A i^i C ) ) -> B e. RR )
39		smfmullem4.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. (SMblFn ` S ) )
40	28, 39, 6	sssmfmpt 40959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( x e. ( A i^i C ) |-> B ) e. (SMblFn ` S ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( x e. ( A i^i C ) |-> B ) e. (SMblFn ` S ) )
42		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- { q e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) | A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < R } C_ ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) )
43	4, 42	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- K C_ ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) )
44		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- RR e. _V
45		qssre 11798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- QQ C_ RR
46		mapss 7900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( RR e. _V /\ QQ C_ RR ) -> ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) C_ ( RR ^m ( 0 ... 3 ) ) )
47	44, 45, 46	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) C_ ( RR ^m ( 0 ... 3 ) )
48	43, 47	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- K C_ ( RR ^m ( 0 ... 3 ) )
49		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( q e. K -> q e. K )
50	48, 49	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( q e. K -> q e. ( RR ^m ( 0 ... 3 ) ) )
51	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( q e. K -> RR e. _V )
52		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( q e. K -> ( 0 ... 3 ) e. _V )
53	51, 52	elmapd 7871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( q e. K -> ( q e. ( RR ^m ( 0 ... 3 ) ) <-> q : ( 0 ... 3 ) --> RR ) )
54	50, 53	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( q e. K -> q : ( 0 ... 3 ) --> RR )
55		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. ZZ
56		3z 11410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 3 e. ZZ
57		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 0 e. RR
58		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 3 e. RR
59		3pos 11114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 0 < 3
60	57, 58, 59	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 <_ 3
61	55, 56, 60	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 0 <_ 3 )
62		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) <-> ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 0 <_ 3 ) )
63	61, 62	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 3 e. ( ZZ>= ` 0 )
64		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( q e. K -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
67	54, 66	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. K -> ( q ` 0 ) e. RR )
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( q ` 0 ) e. RR )
69	68	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( q ` 0 ) e. RR* )
70		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 <_ 1
71		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 1 e. RR
72		1lt3 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 1 < 3
73	71, 58, 72	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 1 <_ 3
74	70, 73	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ 3 )
75		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 1 e. ZZ
76		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 1 e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ 3 ) ) )
77	75, 55, 56, 76	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ 3 ) )
78	74, 77	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( q e. K -> 1 e. ( 0 ... 3 ) )
80	54, 79	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. K -> ( q ` 1 ) e. RR )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( q ` 1 ) e. RR )
82	81	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( q ` 1 ) e. RR* )
83	35, 36, 37, 38, 41, 69, 82	smfpimioompt 40993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> { x e. ( A i^i C ) | B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) } e. ( S ↾t ( A i^i C ) ) )
84	14	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ q e. K ) /\ x e. ( A i^i C ) ) -> D e. RR )
85		smfmullem4.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( x e. C |-> D ) e. (SMblFn ` S ) )
86	1, 12	ssdf 39247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( A i^i C ) C_ C )
87	28, 85, 86	sssmfmpt 40959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( x e. ( A i^i C ) |-> D ) e. (SMblFn ` S ) )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( x e. ( A i^i C ) |-> D ) e. (SMblFn ` S ) )
89		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 <_ 2
90		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 2 e. RR
91		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 2 < 3
92	90, 58, 91	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 <_ 3
93	89, 92	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 3 )
94		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 e. ZZ
95		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 3 ) ) )
96	94, 55, 56, 95	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ 3 ) )
97	93, 96	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 e. ( 0 ... 3 )
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( q e. K -> 2 e. ( 0 ... 3 ) )
99	54, 98	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. K -> ( q ` 2 ) e. RR )
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( q ` 2 ) e. RR )
101	100	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( q ` 2 ) e. RR* )
102		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
103	63, 102	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( q e. K -> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
105	54, 104	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. K -> ( q ` 3 ) e. RR )
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( q ` 3 ) e. RR )
107	106	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( q ` 3 ) e. RR* )
108	35, 36, 37, 84, 88, 101, 107	smfpimioompt 40993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> { x e. ( A i^i C ) | D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) } e. ( S ↾t ( A i^i C ) ) )
109	33, 83, 108	salincld 40570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( { x e. ( A i^i C ) | B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) } i^i { x e. ( A i^i C ) | D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) } ) e. ( S ↾t ( A i^i C ) ) )
110	27, 109	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } e. ( S ↾t ( A i^i C ) ) )
111	110	elexd 3214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } e. _V )
112	26, 111	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( E ` q ) = { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } )
113	112	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } = ( E ` q ) )
114	113	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) /\ q e. K ) -> { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } = ( E ` q ) )
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) /\ q e. K ) /\ ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) -> { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } = ( E ` q ) )
116	24, 115	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) /\ q e. K ) /\ ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) -> x e. ( E ` q ) )
117	116	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) /\ q e. K ) -> ( ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) -> x e. ( E ` q ) ) )
118	117	3adantl3 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) /\ ( B x. D ) < R ) /\ q e. K ) -> ( ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) -> x e. ( E ` q ) ) )
119	118	reximdva 3017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) /\ ( B x. D ) < R ) -> ( E. q e. K ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) -> E. q e. K x e. ( E ` q ) ) )
120	19, 119	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) /\ ( B x. D ) < R ) -> E. q e. K x e. ( E ` q ) )
121		eliun 4524	. . . . . . 7 |- ( x e. U_ q e. K ( E ` q ) <-> E. q e. K x e. ( E ` q ) )
122	120, 121	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) /\ ( B x. D ) < R ) -> x e. U_ q e. K ( E ` q ) )
123	122	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A i^i C ) -> ( ( B x. D ) < R -> x e. U_ q e. K ( E ` q ) ) ) )
124	1, 123	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( A i^i C ) ( ( B x. D ) < R -> x e. U_ q e. K ( E ` q ) ) )
125	34	nfci 2754	. . . . . 6 |- F/_ x K
126		nfrab1 3122	. . . . . . . . 9 |- F/_ x { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) }
127	125, 126	nfmpt 4746	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( q e. K |-> { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } )
128	25, 127	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 |- F/_ x E
129		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x q
130	128, 129	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ x ( E ` q )
131	125, 130	nfiun 4548	. . . . 5 |- F/_ x U_ q e. K ( E ` q )
132	131	rabssf 39302	. . . 4 |- ( { x e. ( A i^i C ) | ( B x. D ) < R } C_ U_ q e. K ( E ` q ) <-> A. x e. ( A i^i C ) ( ( B x. D ) < R -> x e. U_ q e. K ( E ` q ) ) )
133	124, 132	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> { x e. ( A i^i C ) | ( B x. D ) < R } C_ U_ q e. K ( E ` q ) )
134		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } C_ ( A i^i C )
135	112, 134	syl6eqss 3655	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( E ` q ) C_ ( A i^i C ) )
136		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. K ) /\ x e. ( E ` q ) ) -> x e. ( E ` q ) )
137	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. K ) /\ x e. ( E ` q ) ) -> ( E ` q ) = { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } )
138	136, 137	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ q e. K ) /\ x e. ( E ` q ) ) -> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } )
139		rabidim2 39284	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) } -> ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) )
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ q e. K ) /\ x e. ( E ` q ) ) -> ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) )
141	140	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ q e. K ) /\ x e. ( E ` q ) ) -> D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) )
142	140	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ q e. K ) /\ x e. ( E ` q ) ) -> B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) )
143	49, 4	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. K -> q e. { q e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) | A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < R } )
144		rabidim2 39284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. { q e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) | A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < R } -> A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < R )
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. K -> A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < R )
146	145	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ q e. K ) /\ x e. ( E ` q ) ) -> A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < R )
147		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = B -> ( u x. v ) = ( B x. v ) )
148	147	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = B -> ( ( u x. v ) < R <-> ( B x. v ) < R ) )
149	148	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = B -> ( A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < R <-> A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( B x. v ) < R ) )
150	149	rspcva 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < R ) -> A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( B x. v ) < R )
151	142, 146, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ q e. K ) /\ x e. ( E ` q ) ) -> A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( B x. v ) < R )
152		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = D -> ( B x. v ) = ( B x. D ) )
153	152	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( v = D -> ( ( B x. v ) < R <-> ( B x. D ) < R ) )
154	153	rspcva 3307	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) /\ A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( B x. v ) < R ) -> ( B x. D ) < R )
155	141, 151, 154	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ q e. K ) /\ x e. ( E ` q ) ) -> ( B x. D ) < R )
156	155	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( x e. ( E ` q ) -> ( B x. D ) < R ) )
157	35, 156	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> A. x e. ( E ` q ) ( B x. D ) < R )
158	135, 157	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( ( E ` q ) C_ ( A i^i C ) /\ A. x e. ( E ` q ) ( B x. D ) < R ) )
159		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x ( A i^i C )
160	130, 159	ssrabf 39298	. . . . 5 |- ( ( E ` q ) C_ { x e. ( A i^i C ) | ( B x. D ) < R } <-> ( ( E ` q ) C_ ( A i^i C ) /\ A. x e. ( E ` q ) ( B x. D ) < R ) )
161	158, 160	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( E ` q ) C_ { x e. ( A i^i C ) | ( B x. D ) < R } )
162	161	iunssd 39271	. . 3 |- ( ph -> U_ q e. K ( E ` q ) C_ { x e. ( A i^i C ) | ( B x. D ) < R } )
163	133, 162	eqssd 3620	. 2 |- ( ph -> { x e. ( A i^i C ) | ( B x. D ) < R } = U_ q e. K ( E ` q ) )
164		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) e. _V
165		ssdomg 8001	. . . . . . 7 |- ( ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) e. _V -> ( K C_ ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) -> K ~<_ ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) ) )
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( K C_ ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) -> K ~<_ ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) )
167	43, 166	ax-mp 5	. . . . 5 |- K ~<_ ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) )
168		qct 39578	. . . . . . . 8 |- QQ ~<_ om
169	168	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> QQ ~<_ om )
170		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
171	169, 170	mpct 39393	. . . . . 6 |- ( T. -> ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) ~<_ om )
172	171	trud 1493	. . . . 5 |- ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) ~<_ om
173		domtr 8009	. . . . 5 |- ( ( K ~<_ ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) /\ ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) ~<_ om ) -> K ~<_ om )
174	167, 172, 173	mp2an 708	. . . 4 |- K ~<_ om
175	174	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> K ~<_ om )
176	110, 25	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> E : K --> ( S ↾t ( A i^i C ) ) )
177	176	ffvelrnda 6359	. . 3 |- ( ( ph /\ q e. K ) -> ( E ` q ) e. ( S ↾t ( A i^i C ) ) )
178	32, 175, 177	saliuncl 40542	. 2 |- ( ph -> U_ q e. K ( E ` q ) e. ( S ↾t ( A i^i C ) ) )
179	163, 178	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> { x e. ( A i^i C ) | ( B x. D ) < R } e. ( S ↾t ( A i^i C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ^m cmap 7857   ~<_ cdom 7953   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   QQcq 11788   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   abscabs 13974   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfmul  41002