Theorem mrcmndind 17366

Description: (( From SO's determinants branch )). TODO: Appropriate description to be added! (Contributed by SO, 14-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcmndind.ch	|- ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
mrcmndind.th	|- ( x = ( y .+ z ) -> ( ps <-> th ) )
mrcmndind.ta	|- ( x = .0. -> ( ps <-> ta ) )
mrcmndind.et	|- ( x = A -> ( ps <-> et ) )
mrcmndind.0g	|- .0. = ( 0g ` M )
mrcmndind.pg	|- .+ = ( +g ` M )
mrcmndind.b	|- B = ( Base ` M )
mrcmndind.m	|- ( ph -> M e. Mnd )
mrcmndind.g	|- ( ph -> G C_ B )
mrcmndind.k	|- ( ph -> B = ( (mrCls ` (SubMnd ` M ) ) ` G ) )
mrcmndind.i1	|- ( ph -> ta )
mrcmndind.i2	|- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. G ) /\ ch ) -> th )
mrcmndind.a	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
mrcmndind	|- ( ph -> et )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z   ps, y, z   ch, x, z   th, x   x, .0.   x, A   ta, x   et, x   y, G, z   y, B, z   x, .+ , y, z

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)   th( y, z)   ta( y, z)   et( y, z)   A( y, z)   B( x)   G( x)   M( x, y, z)   .0. ( y, z)

Proof of Theorem mrcmndind

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcmndind.i1	. . . 4 |- ( ph -> ta )
2		mrcmndind.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. Mnd )
3		mrcmndind.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` M )
4		mrcmndind.0g	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` M )
5	3, 4	mndidcl 17308	. . . . . 6 |- ( M e. Mnd -> .0. e. B )
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> .0. e. B )
7		mrcmndind.ta	. . . . . 6 |- ( x = .0. -> ( ps <-> ta ) )
8	7	sbcieg 3468	. . . . 5 |- ( .0. e. B -> ( [. .0. / x ]. ps <-> ta ) )
9	6, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( [. .0. / x ]. ps <-> ta ) )
10	1, 9	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> [. .0. / x ]. ps )
11		mrcmndind.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( (mrCls ` (SubMnd ` M ) ) ` G ) )
12	3	submacs 17365	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. Mnd -> (SubMnd ` M ) e. (ACS ` B ) )
13	2, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (SubMnd ` M ) e. (ACS ` B ) )
14	13	acsmred 16317	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (SubMnd ` M ) e. (Moore ` B ) )
15		mrcmndind.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G C_ B )
16		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = a -> ( y e. B <-> a e. B ) )
17	16	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = a -> ( ( ( ph /\ b e. G ) /\ y e. B ) <-> ( ( ph /\ b e. G ) /\ a e. B ) ) )
18		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
19		mrcmndind.ch	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ps <-> ch ) )
20	18, 19	sbcie 3470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. y / x ]. ps <-> ch )
21		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = a -> ( [. y / x ]. ps <-> [. a / x ]. ps ) )
22	20, 21	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = a -> ( ch <-> [. a / x ]. ps ) )
23		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = a -> ( y .+ b ) = ( a .+ b ) )
24	23	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = a -> ( [. ( y .+ b ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) )
25	22, 24	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = a -> ( ( ch -> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) <-> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) ) )
26	17, 25	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = a -> ( ( ( ( ph /\ b e. G ) /\ y e. B ) -> ( ch -> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) ) <-> ( ( ( ph /\ b e. G ) /\ a e. B ) -> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) ) ) )
27		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = b -> ( z e. G <-> b e. G ) )
28	27	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = b -> ( ( ph /\ z e. G ) <-> ( ph /\ b e. G ) ) )
29	28	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = b -> ( ( ( ph /\ z e. G ) /\ y e. B ) <-> ( ( ph /\ b e. G ) /\ y e. B ) ) )
30		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y .+ z ) e. _V
31		mrcmndind.th	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y .+ z ) -> ( ps <-> th ) )
32	30, 31	sbcie 3470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. ( y .+ z ) / x ]. ps <-> th )
33		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = b -> ( y .+ z ) = ( y .+ b ) )
34	33	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = b -> ( [. ( y .+ z ) / x ]. ps <-> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) )
35	32, 34	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = b -> ( th <-> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) )
36	35	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = b -> ( ( ch -> th ) <-> ( ch -> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) ) )
37	29, 36	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = b -> ( ( ( ( ph /\ z e. G ) /\ y e. B ) -> ( ch -> th ) ) <-> ( ( ( ph /\ b e. G ) /\ y e. B ) -> ( ch -> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) ) ) )
38		mrcmndind.i2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. G ) /\ ch ) -> th )
39	38	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. B /\ z e. G ) -> ( ch -> th ) )
40	39	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ z e. G ) -> ( ch -> th ) )
41	40	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. G ) /\ y e. B ) -> ( ch -> th ) )
42	37, 41	chvarv 2263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. G ) /\ y e. B ) -> ( ch -> [. ( y .+ b ) / x ]. ps ) )
43	26, 42	chvarv 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. G ) /\ a e. B ) -> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) )
44	43	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. G ) -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) )
45	15, 44	ssrabdv 3681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G C_ { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } )
46		mrcmndind.pg	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` M )
47	3, 46, 4	mndrid 17312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. Mnd /\ a e. B ) -> ( a .+ .0. ) = a )
48	2, 47	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( a .+ .0. ) = a )
49	48	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( [. ( a .+ .0. ) / x ]. ps <-> [. a / x ]. ps ) )
50	49	biimprd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ .0. ) / x ]. ps ) )
51	50	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ .0. ) / x ]. ps ) )
52		simprrl 804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( c e. B /\ d e. B ) /\ ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) ) ) -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) )
53	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> M e. Mnd )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> b e. B )
55		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> c e. B )
56	3, 46	mndcl 17301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. Mnd /\ b e. B /\ c e. B ) -> ( b .+ c ) e. B )
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> ( b .+ c ) e. B )
58		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) /\ a = ( b .+ c ) ) -> a = ( b .+ c ) )
59	58	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) /\ a = ( b .+ c ) ) -> ( [. a / x ]. ps <-> [. ( b .+ c ) / x ]. ps ) )
60		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( b .+ c ) -> ( a .+ d ) = ( ( b .+ c ) .+ d ) )
61		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> d e. B )
62	3, 46	mndass 17302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. Mnd /\ ( b e. B /\ c e. B /\ d e. B ) ) -> ( ( b .+ c ) .+ d ) = ( b .+ ( c .+ d ) ) )
63	53, 54, 55, 61, 62	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> ( ( b .+ c ) .+ d ) = ( b .+ ( c .+ d ) ) )
64	60, 63	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) /\ a = ( b .+ c ) ) -> ( a .+ d ) = ( b .+ ( c .+ d ) ) )
65	64	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) /\ a = ( b .+ c ) ) -> ( [. ( a .+ d ) / x ]. ps <-> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) )
66	59, 65	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) /\ a = ( b .+ c ) ) -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) <-> ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps -> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) )
67	57, 66	rspcdv 3312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) /\ b e. B ) -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) -> ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps -> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) )
68	67	ralrimdva 2969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( c e. B /\ d e. B ) ) -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) -> A. b e. B ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps -> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) )
69	68	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( c e. B /\ d e. B ) /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) ) -> A. b e. B ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps -> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) )
70		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = a -> ( b .+ c ) = ( a .+ c ) )
71	70	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = a -> ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) )
72		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = a -> ( b .+ ( c .+ d ) ) = ( a .+ ( c .+ d ) ) )
73	72	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = a -> ( [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) )
74	71, 73	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = a -> ( ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps -> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) <-> ( [. ( a .+ c ) / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) )
75	74	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. b e. B ( [. ( b .+ c ) / x ]. ps -> [. ( b .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) <-> A. a e. B ( [. ( a .+ c ) / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) )
76	69, 75	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( c e. B /\ d e. B ) /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) ) -> A. a e. B ( [. ( a .+ c ) / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) )
77	76	adantrrl 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( c e. B /\ d e. B ) /\ ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) ) ) -> A. a e. B ( [. ( a .+ c ) / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) )
78		imim1 83	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) -> ( ( [. ( a .+ c ) / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) -> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) )
79	78	ral2imi 2947	. . . . . . . . . 10 |- ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) -> ( A. a e. B ( [. ( a .+ c ) / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) )
80	52, 77, 79	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( c e. B /\ d e. B ) /\ ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) ) ) -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) )
81		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = .0. -> ( a .+ b ) = ( a .+ .0. ) )
82	81	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = .0. -> ( [. ( a .+ b ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ .0. ) / x ]. ps ) )
83	82	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( b = .0. -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ .0. ) / x ]. ps ) ) )
84	83	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( b = .0. -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ .0. ) / x ]. ps ) ) )
85		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = c -> ( a .+ b ) = ( a .+ c ) )
86	85	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = c -> ( [. ( a .+ b ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) )
87	86	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( b = c -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) ) )
88	87	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( b = c -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ c ) / x ]. ps ) ) )
89		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = d -> ( a .+ b ) = ( a .+ d ) )
90	89	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = d -> ( [. ( a .+ b ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) )
91	90	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( b = d -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) )
92	91	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( b = d -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ d ) / x ]. ps ) ) )
93		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( c .+ d ) -> ( a .+ b ) = ( a .+ ( c .+ d ) ) )
94	93	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( c .+ d ) -> ( [. ( a .+ b ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) )
95	94	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( c .+ d ) -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) )
96	95	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( c .+ d ) -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ ( c .+ d ) ) / x ]. ps ) ) )
97	3, 46, 4, 2, 51, 80, 84, 88, 92, 96	issubmd 17349	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } e. (SubMnd ` M ) )
98		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (mrCls ` (SubMnd ` M ) ) = (mrCls ` (SubMnd ` M ) )
99	98	mrcsscl 16280	. . . . . . . 8 |- ( ( (SubMnd ` M ) e. (Moore ` B ) /\ G C_ { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } /\ { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } e. (SubMnd ` M ) ) -> ( (mrCls ` (SubMnd ` M ) ) ` G ) C_ { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } )
100	14, 45, 97, 99	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (mrCls ` (SubMnd ` M ) ) ` G ) C_ { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } )
101	11, 100	eqsstrd 3639	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } )
102		mrcmndind.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. B )
103	101, 102	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> A e. { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } )
104		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( b = A -> ( a .+ b ) = ( a .+ A ) )
105	104	sbceq1d 3440	. . . . . . . . 9 |- ( b = A -> ( [. ( a .+ b ) / x ]. ps <-> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) )
106	105	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( b = A -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) ) )
107	106	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( b = A -> ( A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) <-> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) ) )
108	107	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( A e. { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } <-> ( A e. B /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) ) )
109	108	simprbi 480	. . . . 5 |- ( A e. { b e. B | A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ b ) / x ]. ps ) } -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) )
110	103, 109	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) )
111		dfsbcq 3437	. . . . . 6 |- ( a = .0. -> ( [. a / x ]. ps <-> [. .0. / x ]. ps ) )
112		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( a = .0. -> ( a .+ A ) = ( .0. .+ A ) )
113	112	sbceq1d 3440	. . . . . 6 |- ( a = .0. -> ( [. ( a .+ A ) / x ]. ps <-> [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps ) )
114	111, 113	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( a = .0. -> ( ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) <-> ( [. .0. / x ]. ps -> [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps ) ) )
115	114	rspcva 3307	. . . 4 |- ( ( .0. e. B /\ A. a e. B ( [. a / x ]. ps -> [. ( a .+ A ) / x ]. ps ) ) -> ( [. .0. / x ]. ps -> [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps ) )
116	6, 110, 115	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( [. .0. / x ]. ps -> [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps ) )
117	10, 116	mpd 15	. 2 |- ( ph -> [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps )
118	3, 46, 4	mndlid 17311	. . . . 5 |- ( ( M e. Mnd /\ A e. B ) -> ( .0. .+ A ) = A )
119	2, 102, 118	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( .0. .+ A ) = A )
120	119	sbceq1d 3440	. . 3 |- ( ph -> ( [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps <-> [. A / x ]. ps ) )
121		mrcmndind.et	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ps <-> et ) )
122	121	sbcieg 3468	. . . 4 |- ( A e. B -> ( [. A / x ]. ps <-> et ) )
123	102, 122	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( [. A / x ]. ps <-> et ) )
124	120, 123	bitrd 268	. 2 |- ( ph -> ( [. ( .0. .+ A ) / x ]. ps <-> et ) )
125	117, 124	mpbid 222	1 |- ( ph -> et )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   [.wsbc 3435   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100  Moorecmre 16242  mrClscmrc 16243  ACScacs 16245   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336

This theorem is referenced by:  mdetunilem7  20424