Theorem submacs 17365

Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submacs.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
submacs	|- ( G e. Mnd -> (SubMnd ` G ) e. (ACS ` B ) )

Proof of Theorem submacs

Dummy variables s x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submacs.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4	1, 2, 3	issubm 17347	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( s e. (SubMnd ` G ) <-> ( s C_ B /\ ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) )
5		selpw 4165	. . . . . . 7 |- ( s e. ~P B <-> s C_ B )
6	5	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( s e. ~P B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) <-> ( s C_ B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) )
7		3anass 1042	. . . . . 6 |- ( ( s C_ B /\ ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) <-> ( s C_ B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) )
8	6, 7	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( ( s e. ~P B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) <-> ( s C_ B /\ ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) )
9	4, 8	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> ( s e. (SubMnd ` G ) <-> ( s e. ~P B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) ) )
10	9	abbi2dv 2742	. . 3 |- ( G e. Mnd -> (SubMnd ` G ) = { s | ( s e. ~P B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) } )
11		df-rab 2921	. . 3 |- { s e. ~P B | ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) } = { s | ( s e. ~P B /\ ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) ) }
12	10, 11	syl6eqr 2674	. 2 |- ( G e. Mnd -> (SubMnd ` G ) = { s e. ~P B | ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) } )
13		inrab 3899	. . 3 |- ( { s e. ~P B | ( 0g ` G ) e. s } i^i { s e. ~P B | A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s } ) = { s e. ~P B | ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) }
14		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) e. _V
15	1, 14	eqeltri 2697	. . . . 5 |- B e. _V
16		mreacs 16319	. . . . 5 |- ( B e. _V -> (ACS ` B ) e. (Moore ` ~P B ) )
17	15, 16	mp1i 13	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> (ACS ` B ) e. (Moore ` ~P B ) )
18	1, 2	mndidcl 17308	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> ( 0g ` G ) e. B )
19		acsfn0 16321	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ ( 0g ` G ) e. B ) -> { s e. ~P B | ( 0g ` G ) e. s } e. (ACS ` B ) )
20	15, 18, 19	sylancr 695	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> { s e. ~P B | ( 0g ` G ) e. s } e. (ACS ` B ) )
21	1, 3	mndcl 17301	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
22	21	3expb 1266	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
23	22	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
24		acsfn2 16324	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` G ) y ) e. B ) -> { s e. ~P B | A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s } e. (ACS ` B ) )
25	15, 23, 24	sylancr 695	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> { s e. ~P B | A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s } e. (ACS ` B ) )
26		mreincl 16259	. . . 4 |- ( ( (ACS ` B ) e. (Moore ` ~P B ) /\ { s e. ~P B | ( 0g ` G ) e. s } e. (ACS ` B ) /\ { s e. ~P B | A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s } e. (ACS ` B ) ) -> ( { s e. ~P B | ( 0g ` G ) e. s } i^i { s e. ~P B | A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s } ) e. (ACS ` B ) )
27	17, 20, 25, 26	syl3anc 1326	. . 3 |- ( G e. Mnd -> ( { s e. ~P B | ( 0g ` G ) e. s } i^i { s e. ~P B | A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s } ) e. (ACS ` B ) )
28	13, 27	syl5eqelr 2706	. 2 |- ( G e. Mnd -> { s e. ~P B | ( ( 0g ` G ) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( x ( +g ` G ) y ) e. s ) } e. (ACS ` B ) )
29	12, 28	eqeltrd 2701	1 |- ( G e. Mnd -> (SubMnd ` G ) e. (ACS ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100  Moorecmre 16242  ACScacs 16245   Mndcmnd 17294  SubMndcsubmnd 17334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-0g 16102  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336

This theorem is referenced by:  mrcmndind  17366  gsumwspan  17383  subgacs  17629  symggen  17890  cntzspan  18247  gsumzsplit  18327  gsumzoppg  18344  gsumpt  18361  subrgacs  37770