Theorem nbusgrf1o0 26271

Description: The mapping of neighbors of a vertex to edges incident to the vertex is a bijection ( 1-1 onto function) in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Dec-2017.) (Revised by AV, 28-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nbusgrf1o1.v	|- V = (Vtx ` G )
nbusgrf1o1.e	|- E = (Edg ` G )
nbusgrf1o1.n	|- N = ( G NeighbVtx U )
nbusgrf1o1.i	|- I = { e e. E | U e. e }
nbusgrf1o.f	|- F = ( n e. N |-> { U , n } )

Assertion

Ref	Expression
nbusgrf1o0	|- ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) -> F : N -1-1-onto-> I )

Distinct variable groups:   e, E   U, e   n, E   e, G, n   e, I, n   e, N, n   U, n   e, V, n   e, F

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem nbusgrf1o0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nbusgrf1o1.n	. . . . . 6 |- N = ( G NeighbVtx U )
2	1	eleq2i 2693	. . . . 5 |- ( n e. N <-> n e. ( G NeighbVtx U ) )
3		nbusgrf1o1.e	. . . . . . . 8 |- E = (Edg ` G )
4	3	nbusgreledg 26249	. . . . . . 7 |- ( G e. USGraph -> ( n e. ( G NeighbVtx U ) <-> { n , U } e. E ) )
5	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) -> ( n e. ( G NeighbVtx U ) <-> { n , U } e. E ) )
6		prcom 4267	. . . . . . . . . . 11 |- { n , U } = { U , n }
7	6	eleq1i 2692	. . . . . . . . . 10 |- ( { n , U } e. E <-> { U , n } e. E )
8	7	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( { n , U } e. E -> { U , n } e. E )
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) /\ { n , U } e. E ) -> { U , n } e. E )
10		prid1g 4295	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. V -> U e. { U , n } )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) -> U e. { U , n } )
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) /\ { n , U } e. E ) -> U e. { U , n } )
13		nbusgrf1o1.i	. . . . . . . . . 10 |- I = { e e. E | U e. e }
14	13	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( { U , n } e. I <-> { U , n } e. { e e. E | U e. e } )
15		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( e = { U , n } -> ( U e. e <-> U e. { U , n } ) )
16	15	elrab 3363	. . . . . . . . 9 |- ( { U , n } e. { e e. E | U e. e } <-> ( { U , n } e. E /\ U e. { U , n } ) )
17	14, 16	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( { U , n } e. I <-> ( { U , n } e. E /\ U e. { U , n } ) )
18	9, 12, 17	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) /\ { n , U } e. E ) -> { U , n } e. I )
19	18	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) -> ( { n , U } e. E -> { U , n } e. I ) )
20	5, 19	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) -> ( n e. ( G NeighbVtx U ) -> { U , n } e. I ) )
21	2, 20	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) -> ( n e. N -> { U , n } e. I ) )
22	21	imp 445	. . 3 |- ( ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) /\ n e. N ) -> { U , n } e. I )
23	22	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) -> A. n e. N { U , n } e. I )
24	13	rabeq2i 3197	. . . 4 |- ( e e. I <-> ( e e. E /\ U e. e ) )
25		nbusgrf1o1.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
26	25, 3, 1	edgnbusgreu 26269	. . . 4 |- ( ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) /\ ( e e. E /\ U e. e ) ) -> E! n e. N e = { U , n } )
27	24, 26	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) /\ e e. I ) -> E! n e. N e = { U , n } )
28	27	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) -> A. e e. I E! n e. N e = { U , n } )
29		nbusgrf1o.f	. . 3 |- F = ( n e. N |-> { U , n } )
30	29	f1ompt 6382	. 2 |- ( F : N -1-1-onto-> I <-> ( A. n e. N { U , n } e. I /\ A. e e. I E! n e. N e = { U , n } ) )
31	23, 28, 30	sylanbrc 698	1 |- ( ( G e. USGraph /\ U e. V ) -> F : N -1-1-onto-> I )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   {crab 2916   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044   NeighbVtx cnbgr 26224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-upgr 25977  df-umgr 25978  df-uspgr 26045  df-usgr 26046  df-nbgr 26228

This theorem is referenced by:  nbusgrf1o1  26272