Theorem nmlnoubi 27651

Description: An upper bound for the operator norm of a linear operator, using only the properties of nonzero arguments. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlnoubi.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nmlnoubi.z	|- Z = ( 0vec ` U )
nmlnoubi.k	|- K = ( normCV ` U )
nmlnoubi.m	|- M = ( normCV ` W )
nmlnoubi.3	|- N = ( U normOpOLD W )
nmlnoubi.7	|- L = ( U LnOp W )
nmlnoubi.u	|- U e. NrmCVec
nmlnoubi.w	|- W e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlnoubi	|- ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A. x e. X ( x =/= Z -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) ) -> ( N ` T ) <_ A )

Distinct variable groups:   x, A   x, K   x, L   x, M   x, T   x, U   x, W   x, X

Allowed substitution hints:   N( x)   Z( x)

Proof of Theorem nmlnoubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = Z -> ( T ` x ) = ( T ` Z ) )
2	1	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = Z -> ( M ` ( T ` x ) ) = ( M ` ( T ` Z ) ) )
3		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = Z -> ( K ` x ) = ( K ` Z ) )
4	3	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = Z -> ( A x. ( K ` x ) ) = ( A x. ( K ` Z ) ) )
5	2, 4	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( x = Z -> ( ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) <-> ( M ` ( T ` Z ) ) <_ ( A x. ( K ` Z ) ) ) )
6		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( x =/= Z -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) -> ( x =/= Z -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) )
7	6	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( x =/= Z -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) /\ x =/= Z ) -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) )
8	7	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( x =/= Z -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) ) /\ x =/= Z ) -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) )
9		0le0 11110	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 0
10		nmlnoubi.u	. . . . . . . . . . . . 13 |- U e. NrmCVec
11		nmlnoubi.w	. . . . . . . . . . . . 13 |- W e. NrmCVec
12		nmlnoubi.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- X = ( BaseSet ` U )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
14		nmlnoubi.z	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = ( 0vec ` U )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0vec ` W ) = ( 0vec ` W )
16		nmlnoubi.7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- L = ( U LnOp W )
17	12, 13, 14, 15, 16	lno0 27611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> ( T ` Z ) = ( 0vec ` W ) )
18	10, 11, 17	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. L -> ( T ` Z ) = ( 0vec ` W ) )
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. L -> ( M ` ( T ` Z ) ) = ( M ` ( 0vec ` W ) ) )
20		nmlnoubi.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- M = ( normCV ` W )
21	15, 20	nvz0 27523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. NrmCVec -> ( M ` ( 0vec ` W ) ) = 0 )
22	11, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( M ` ( 0vec ` W ) ) = 0
23	19, 22	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. L -> ( M ` ( T ` Z ) ) = 0 )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( M ` ( T ` Z ) ) = 0 )
25		nmlnoubi.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( normCV ` U )
26	14, 25	nvz0 27523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. NrmCVec -> ( K ` Z ) = 0 )
27	10, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K ` Z ) = 0
28	27	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( A x. ( K ` Z ) ) = ( A x. 0 )
29		recn 10026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> A e. CC )
30	29	mul01d 10235	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( A x. 0 ) = 0 )
31	28, 30	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( A x. ( K ` Z ) ) = 0 )
32	31	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( A x. ( K ` Z ) ) = 0 )
33	24, 32	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( ( M ` ( T ` Z ) ) <_ ( A x. ( K ` Z ) ) <-> 0 <_ 0 ) )
34	9, 33	mpbiri 248	. . . . . . 7 |- ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( M ` ( T ` Z ) ) <_ ( A x. ( K ` Z ) ) )
35	34	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( x =/= Z -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) ) -> ( M ` ( T ` Z ) ) <_ ( A x. ( K ` Z ) ) )
36	5, 8, 35	pm2.61ne 2879	. . . . 5 |- ( ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( x =/= Z -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) ) -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) )
37	36	ex 450	. . . 4 |- ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( ( x =/= Z -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) )
38	37	ralimdv 2963	. . 3 |- ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( A. x e. X ( x =/= Z -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) -> A. x e. X ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) )
39	38	3impia 1261	. 2 |- ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A. x e. X ( x =/= Z -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) ) -> A. x e. X ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) )
40	12, 13, 16	lnof 27610	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> ( BaseSet ` W ) )
41	10, 11, 40	mp3an12 1414	. . 3 |- ( T e. L -> T : X --> ( BaseSet ` W ) )
42		nmlnoubi.3	. . . 4 |- N = ( U normOpOLD W )
43	12, 13, 25, 20, 42, 10, 11	nmoub2i 27629	. . 3 |- ( ( T : X --> ( BaseSet ` W ) /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A. x e. X ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) -> ( N ` T ) <_ A )
44	41, 43	syl3an1 1359	. 2 |- ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A. x e. X ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) -> ( N ` T ) <_ A )
45	39, 44	syld3an3 1371	1 |- ( ( T e. L /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A. x e. X ( x =/= Z -> ( M ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( K ` x ) ) ) ) -> ( N ` T ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   0veccn0v 27443   norm_CVcnmcv 27445   LnOp clno 27595   normOpOLDcnmoo 27596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-lno 27599  df-nmoo 27600

This theorem is referenced by: (None)