MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlno0 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem nmlno0 27650
Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3 |- N = ( U normOpOLD W )
nmlno0.0 |- Z = ( U 0op W )
nmlno0.7 |- L = ( U LnOp W )
Assertion
Ref Expression
nmlno0 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z ) )
Proof of Theorem nmlno0
StepHypRef Expression
1 nmlno0.7 . . . . . 6 |- L = ( U LnOp W )
2 oveq1 6657 . . . . . 6 |- ( U = if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( U LnOp W ) = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp W ) )
31, 2syl5eq 2668 . . . . 5 |- ( U = if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> L = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp W ) )
43eleq2d 2687 . . . 4 |- ( U = if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( T e. L <-> T e. ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp W ) ) )
5 nmlno0.3 . . . . . . . 8 |- N = ( U normOpOLD W )
6 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( U = if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( U normOpOLD W ) = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD W ) )
75, 6syl5eq 2668 . . . . . . 7 |- ( U = if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> N = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD W ) )
87fveq1d 6193 . . . . . 6 |- ( U = if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( N ` T ) = ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD W ) ` T ) )
98eqeq1d 2624 . . . . 5 |- ( U = if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( ( N ` T ) = 0 <-> ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD W ) ` T ) = 0 ) )
10 nmlno0.0 . . . . . . 7 |- Z = ( U 0op W )
11 oveq1 6657 . . . . . . 7 |- ( U = if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( U 0op W ) = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op W ) )
1210, 11syl5eq 2668 . . . . . 6 |- ( U = if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> Z = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op W ) )
1312eqeq2d 2632 . . . . 5 |- ( U = if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( T = Z <-> T = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op W ) ) )
149, 13bibi12d 335 . . . 4 |- ( U = if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z ) <-> ( ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD W ) ` T ) = 0 <-> T = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op W ) ) ) )
154, 14imbi12d 334 . . 3 |- ( U = if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( ( T e. L -> ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z ) ) <-> ( T e. ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp W ) -> ( ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD W ) ` T ) = 0 <-> T = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op W ) ) ) ) )
16 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( W = if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp W ) = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) )
1716eleq2d 2687 . . . 4 |- ( W = if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( T e. ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp W ) <-> T e. ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) ) )
18 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( W = if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD W ) = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) )
1918fveq1d 6193 . . . . . 6 |- ( W = if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD W ) ` T ) = ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) ` T ) )
2019eqeq1d 2624 . . . . 5 |- ( W = if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD W ) ` T ) = 0 <-> ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) ` T ) = 0 ) )
21 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( W = if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op W ) = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) )
2221eqeq2d 2632 . . . . 5 |- ( W = if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( T = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op W ) <-> T = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) ) )
2320, 22bibi12d 335 . . . 4 |- ( W = if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( ( ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD W ) ` T ) = 0 <-> T = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op W ) ) <-> ( ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) ` T ) = 0 <-> T = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) ) ) )
2417, 23imbi12d 334 . . 3 |- ( W = if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) -> ( ( T e. ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp W ) -> ( ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD W ) ` T ) = 0 <-> T = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op W ) ) ) <-> ( T e. ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) -> ( ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) ` T ) = 0 <-> T = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) ) ) ) )
25 eqid 2622 . . . 4 |- ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) )
26 eqid 2622 . . . 4 |- ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) )
27 eqid 2622 . . . 4 |- ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) )
28 elimnvu 27539 . . . 4 |- if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) e. NrmCVec
29 elimnvu 27539 . . . 4 |- if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) e. NrmCVec
3025, 26, 27, 28, 29nmlno0i 27649 . . 3 |- ( T e. ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) LnOp if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) -> ( ( ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) normOpOLD if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) ` T ) = 0 <-> T = ( if ( U e. NrmCVec , U , <. <. + , x. >. , abs >. ) 0op if ( W e. NrmCVec , W , <. <. + , x. >. , abs >. ) ) ) )
3115, 24, 30dedth2h 4140 . 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec ) -> ( T e. L -> ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z ) ) )
32313impia 1261 1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> ( ( N ` T ) = 0 <-> T = Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   <.cop 4183   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   abscabs 13974   NrmCVeccnv 27439   LnOp clno 27595   normOpOLDcnmoo 27596   0op c0o 27598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-lno 27599  df-nmoo 27600  df-0o 27602
This theorem is referenced by:  nmlnogt0  27652
  Copyright terms: Public domain W3C validator