HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopub2tALT Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem nmopub2tALT 28768
Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 12-Apr-2006.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopub2tALT |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( normh ` x ) ) ) -> ( normop ` T ) <_ A )
Distinct variable groups:   x, A   x, T
Proof of Theorem nmopub2tALT
StepHypRef Expression
1 normcl 27982 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~H -> ( normh ` x ) e. RR )
21ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` x ) e. RR )
3 simpllr 799 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
4 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( normh ` x ) <_ 1 )
5 1re 10039 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
6 lemul2a 10878 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( normh ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( A x. ( normh ` x ) ) <_ ( A x. 1 ) )
75, 6mp3anl2 1419 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( normh ` x ) e. RR /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( A x. ( normh ` x ) ) <_ ( A x. 1 ) )
82, 3, 4, 7syl21anc 1325 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( A x. ( normh ` x ) ) <_ ( A x. 1 ) )
9 ax-1rid 10006 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( A x. 1 ) = A )
109ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( A x. 1 ) = A )
1110ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( A x. 1 ) = A )
128, 11breqtrd 4679 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( A x. ( normh ` x ) ) <_ A )
13 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) -> ( T ` x ) e. ~H )
14 normcl 27982 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T ` x ) e. ~H -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR )
1615adantlr 751 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR )
17 remulcl 10021 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ ( normh ` x ) e. RR ) -> ( A x. ( normh ` x ) ) e. RR )
181, 17sylan2 491 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ x e. ~H ) -> ( A x. ( normh ` x ) ) e. RR )
1918adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ x e. ~H ) -> ( A x. ( normh ` x ) ) e. RR )
2019adantll 750 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) -> ( A x. ( normh ` x ) ) e. RR )
21 simplrl 800 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) -> A e. RR )
22 letr 10131 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) e. RR /\ ( A x. ( normh ` x ) ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( normh ` x ) ) /\ ( A x. ( normh ` x ) ) <_ A ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
2316, 20, 21, 22syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( normh ` x ) ) /\ ( A x. ( normh ` x ) ) <_ A ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
2423adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( ( ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( normh ` x ) ) /\ ( A x. ( normh ` x ) ) <_ A ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
2512, 24mpan2d 710 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) /\ ( normh ` x ) <_ 1 ) -> ( ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( normh ` x ) ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
2625ex 450 . . . . . 6 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( normh ` x ) ) -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) )
2726com23 86 . . . . 5 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( normh ` x ) ) -> ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) )
2827ralimdva 2962 . . . 4 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( normh ` x ) ) -> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) )
2928imp 445 . . 3 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( normh ` x ) ) ) -> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) )
30 rexr 10085 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
3130adantr 481 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR* )
32 nmopub 28767 . . . . 5 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ A e. RR* ) -> ( ( normop ` T ) <_ A <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) )
3331, 32sylan2 491 . . . 4 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) -> ( ( normop ` T ) <_ A <-> A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) )
3433biimpar 502 . . 3 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ A. x e. ~H ( ( normh ` x ) <_ 1 -> ( normh ` ( T ` x ) ) <_ A ) ) -> ( normop ` T ) <_ A )
3529, 34syldan 487 . 2 |- ( ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( normh ` x ) ) ) -> ( normop ` T ) <_ A )
36353impa 1259 1 |- ( ( T : ~H --> ~H /\ ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ A. x e. ~H ( normh ` ( T ` x ) ) <_ ( A x. ( normh ` x ) ) ) -> ( normop ` T ) <_ A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   ~Hchil 27776   normhcno 27780   normopcnop 27802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hv0cl 27860  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-hnorm 27825  df-nmop 28698
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator