Theorem normcl 27982

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	|- ( A e. ~H -> ( normh ` A ) e. RR )

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 27980	. 2 |- normh : ~H --> RR
2	1	ffvelrni 6358	1 |- ( A e. ~H -> ( normh ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   ` cfv 5888   RRcr 9935   ~Hchil 27776   normhcno 27780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hv0cl 27860  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-hnorm 27825

This theorem is referenced by:  norm-i  27986  normcli  27988  normpyc  28003  hhph  28035  bcs2  28039  norm1  28106  norm1exi  28107  pjhthlem1  28250  chscllem2  28497  pjige0i  28549  pjnorm2  28586  nmopsetretALT  28722  nmopub2tALT  28768  nmopge0  28770  unopnorm  28776  nmfnleub2  28785  eigvalcl  28820  nmlnop0iALT  28854  nmbdoplbi  28883  nmcexi  28885  nmcopexi  28886  nmcoplbi  28887  nmophmi  28890  lnconi  28892  lnopconi  28893  nmbdfnlbi  28908  nmcfnlbi  28911  riesz4i  28922  riesz1  28924  cnlnadjlem2  28927  cnlnadjlem7  28932  nmopadjlem  28948  nmoptrii  28953  nmopcoi  28954  nmopcoadji  28960  branmfn  28964  brabn  28965  leopnmid  28997  pjnmopi  29007  pjnormssi  29027  pjssposi  29031  hstle1  29085  hst1h  29086  hstle  29089  hstles  29090  hstoh  29091  strlem1  29109  strlem3a  29111  strlem5  29114  hstrlem6  29123  jplem1  29127  cdj1i  29292  cdj3lem1  29293  cdj3lem2b  29296  cdj3lem3b  29299  cdj3i  29300