MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0o Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem nn0o 15099
Description: An alternate characterization of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 28-May-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0o |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
Proof of Theorem nn0o
StepHypRef Expression
1 nn0o1gt2 15097 . 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( N = 1 \/ 2 < N ) )
2 1m1e0 11089 . . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
32oveq1i 6660 . . . . . . 7 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 )
4 2cn 11091 . . . . . . . 8 |- 2 e. CC
5 2ne0 11113 . . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
64, 5div0i 10759 . . . . . . 7 |- ( 0 / 2 ) = 0
73, 6eqtri 2644 . . . . . 6 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) = 0
8 0nn0 11307 . . . . . 6 |- 0 e. NN0
97, 8eqeltri 2697 . . . . 5 |- ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0
10 oveq1 6657 . . . . . . . 8 |- ( N = 1 -> ( N - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
1110oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( N = 1 -> ( ( N - 1 ) / 2 ) = ( ( 1 - 1 ) / 2 ) )
1211eleq1d 2686 . . . . . 6 |- ( N = 1 -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
1312adantr 481 . . . . 5 |- ( ( N = 1 /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 <-> ( ( 1 - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
149, 13mpbiri 248 . . . 4 |- ( ( N = 1 /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
1514ex 450 . . 3 |- ( N = 1 -> ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
16 2z 11409 . . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
1716a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> 2 e. ZZ )
18 nn0z 11400 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
1918ad2antrl 764 . . . . . . 7 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> N e. ZZ )
20 2re 11090 . . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
21 nn0re 11301 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
22 ltle 10126 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 2 < N -> 2 <_ N ) )
2320, 21, 22sylancr 695 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 2 < N -> 2 <_ N ) )
2423adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( 2 < N -> 2 <_ N ) )
2524impcom 446 . . . . . . 7 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> 2 <_ N )
26 eluz2 11693 . . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 <_ N ) )
2717, 19, 25, 26syl3anbrc 1246 . . . . . 6 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
28 simprr 796 . . . . . 6 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 )
2927, 28jca 554 . . . . 5 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
30 nno 15098 . . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN )
31 nnnn0 11299 . . . . 5 |- ( ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
3229, 30, 313syl 18 . . . 4 |- ( ( 2 < N /\ ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
3332ex 450 . . 3 |- ( 2 < N -> ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
3415, 33jaoi 394 . 2 |- ( ( N = 1 \/ 2 < N ) -> ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
351, 34mpcom 38 1 |- ( ( N e. NN0 /\ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( ( N - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688
This theorem is referenced by:  nn0ob  15100  nn0onn0ex  42318  nneom  42321  flnn0div2ge  42327  flnn0ohalf  42328
  Copyright terms: Public domain W3C validator