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Theorem nndivsub 32456
Description: Please add description here. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivsub |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A / C ) e. NN /\ A < B ) ) -> ( ( B / C ) e. NN <-> ( ( B - A ) / C ) e. NN ) )
Proof of Theorem nndivsub
StepHypRef Expression
1 nnre 11027 . . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2 nnre 11027 . . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. RR )
3 nnre 11027 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. NN -> C e. RR )
4 nngt0 11049 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. NN -> 0 < C )
53, 4jca 554 . . . . . . . . 9 |- ( C e. NN -> ( C e. RR /\ 0 < C ) )
6 ltdiv1 10887 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < B <-> ( A / C ) < ( B / C ) ) )
71, 2, 5, 6syl3an 1368 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A < B <-> ( A / C ) < ( B / C ) ) )
8 nnsub 11059 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A / C ) e. NN /\ ( B / C ) e. NN ) -> ( ( A / C ) < ( B / C ) <-> ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN ) )
97, 8sylan9bb 736 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A / C ) e. NN /\ ( B / C ) e. NN ) ) -> ( A < B <-> ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN ) )
109biimpd 219 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A / C ) e. NN /\ ( B / C ) e. NN ) ) -> ( A < B -> ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN ) )
1110exp32 631 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A / C ) e. NN -> ( ( B / C ) e. NN -> ( A < B -> ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN ) ) ) )
1211com34 91 . . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A / C ) e. NN -> ( A < B -> ( ( B / C ) e. NN -> ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN ) ) ) )
1312imp32 449 . . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A / C ) e. NN /\ A < B ) ) -> ( ( B / C ) e. NN -> ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN ) )
14 nnaddcl 11042 . . . . . 6 |- ( ( ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN /\ ( A / C ) e. NN ) -> ( ( ( B / C ) - ( A / C ) ) + ( A / C ) ) e. NN )
1514expcom 451 . . . . 5 |- ( ( A / C ) e. NN -> ( ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN -> ( ( ( B / C ) - ( A / C ) ) + ( A / C ) ) e. NN ) )
16 nnsscn 11025 . . . . . . . . . . 11 |- NN C_ CC
17 nnne0 11053 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. NN -> C =/= 0 )
18 divcl 10691 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC /\ C =/= 0 ) -> ( A / C ) e. CC )
1916, 17, 18nnssi2 32454 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ C e. NN ) -> ( A / C ) e. CC )
20 divcl 10691 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC /\ C =/= 0 ) -> ( B / C ) e. CC )
2116, 17, 20nnssi2 32454 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B / C ) e. CC )
2219, 21anim12i 590 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ C e. NN ) /\ ( B e. NN /\ C e. NN ) ) -> ( ( A / C ) e. CC /\ ( B / C ) e. CC ) )
23223impdir 1382 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A / C ) e. CC /\ ( B / C ) e. CC ) )
24 npcan 10290 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B / C ) e. CC /\ ( A / C ) e. CC ) -> ( ( ( B / C ) - ( A / C ) ) + ( A / C ) ) = ( B / C ) )
2524ancoms 469 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A / C ) e. CC /\ ( B / C ) e. CC ) -> ( ( ( B / C ) - ( A / C ) ) + ( A / C ) ) = ( B / C ) )
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( B / C ) - ( A / C ) ) + ( A / C ) ) = ( B / C ) )
2726eleq1d 2686 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( ( B / C ) - ( A / C ) ) + ( A / C ) ) e. NN <-> ( B / C ) e. NN ) )
2827biimpd 219 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( ( B / C ) - ( A / C ) ) + ( A / C ) ) e. NN -> ( B / C ) e. NN ) )
2915, 28sylan9r 690 . . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( A / C ) e. NN ) -> ( ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN -> ( B / C ) e. NN ) )
3029adantrr 753 . . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A / C ) e. NN /\ A < B ) ) -> ( ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN -> ( B / C ) e. NN ) )
3113, 30impbid 202 . 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A / C ) e. NN /\ A < B ) ) -> ( ( B / C ) e. NN <-> ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN ) )
32 nncn 11028 . . . . . 6 |- ( B e. NN -> B e. CC )
33323ad2ant2 1083 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. CC )
34 nncn 11028 . . . . . 6 |- ( A e. NN -> A e. CC )
35343ad2ant1 1082 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. CC )
36 nncn 11028 . . . . . . 7 |- ( C e. NN -> C e. CC )
3736, 17jca 554 . . . . . 6 |- ( C e. NN -> ( C e. CC /\ C =/= 0 ) )
38373ad2ant3 1084 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( C e. CC /\ C =/= 0 ) )
39 divsubdir 10721 . . . . 5 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC /\ ( C e. CC /\ C =/= 0 ) ) -> ( ( B - A ) / C ) = ( ( B / C ) - ( A / C ) ) )
4033, 35, 38, 39syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( B - A ) / C ) = ( ( B / C ) - ( A / C ) ) )
4140eleq1d 2686 . . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( B - A ) / C ) e. NN <-> ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN ) )
4241adantr 481 . 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A / C ) e. NN /\ A < B ) ) -> ( ( ( B - A ) / C ) e. NN <-> ( ( B / C ) - ( A / C ) ) e. NN ) )
4331, 42bitr4d 271 1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A / C ) e. NN /\ A < B ) ) -> ( ( B / C ) e. NN <-> ( ( B - A ) / C ) e. NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021
This theorem is referenced by:  ee7.2aOLD  32460
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