MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaddcl Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem nnaddcl 11042
Description: Closure of addition of positive integers, proved by induction on the second addend. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnaddcl |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )
Proof of Theorem nnaddcl
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( x = 1 -> ( A + x ) = ( A + 1 ) )
21eleq1d 2686 . . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + 1 ) e. NN ) )
32imbi2d 330 . . 3 |- ( x = 1 -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN ) ) )
4 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( x = y -> ( A + x ) = ( A + y ) )
54eleq1d 2686 . . . 4 |- ( x = y -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + y ) e. NN ) )
65imbi2d 330 . . 3 |- ( x = y -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + y ) e. NN ) ) )
7 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A + x ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
87eleq1d 2686 . . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) )
98imbi2d 330 . . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
10 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( x = B -> ( A + x ) = ( A + B ) )
1110eleq1d 2686 . . . 4 |- ( x = B -> ( ( A + x ) e. NN <-> ( A + B ) e. NN ) )
1211imbi2d 330 . . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. NN -> ( A + x ) e. NN ) <-> ( A e. NN -> ( A + B ) e. NN ) ) )
13 peano2nn 11032 . . 3 |- ( A e. NN -> ( A + 1 ) e. NN )
14 peano2nn 11032 . . . . . 6 |- ( ( A + y ) e. NN -> ( ( A + y ) + 1 ) e. NN )
15 nncn 11028 . . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> A e. CC )
16 nncn 11028 . . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> y e. CC )
17 ax-1cn 9994 . . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
18 addass 10023 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + y ) + 1 ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
1917, 18mp3an3 1413 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( A + y ) + 1 ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
2015, 16, 19syl2an 494 . . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A + y ) + 1 ) = ( A + ( y + 1 ) ) )
2120eleq1d 2686 . . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( ( A + y ) + 1 ) e. NN <-> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) )
2214, 21syl5ib 234 . . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ y e. NN ) -> ( ( A + y ) e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) )
2322expcom 451 . . . 4 |- ( y e. NN -> ( A e. NN -> ( ( A + y ) e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
2423a2d 29 . . 3 |- ( y e. NN -> ( ( A e. NN -> ( A + y ) e. NN ) -> ( A e. NN -> ( A + ( y + 1 ) ) e. NN ) ) )
253, 6, 9, 12, 13, 24nnind 11038 . 2 |- ( B e. NN -> ( A e. NN -> ( A + B ) e. NN ) )
2625impcom 446 1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-addass 10001  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021
This theorem is referenced by:  nnmulcl  11043  nnaddcld  11067  nnnn0addcl  11323  nn0addcl  11328  zaddcl  11417  9p1e10  11496  pythagtriplem4  15524  vdwapun  15678  vdwap1  15681  vdwlem2  15686  prmgaplem7  15761  prmgapprmolem  15765  mulgnndir  17569  mulgnndirOLD  17570  uniioombllem3  23353  numclwwlk2lem1  27235  ballotlem1  30548  ballotlem2  30550  ballotlemfmpn  30556  ballotlem4  30560  ballotlemimin  30567  ballotlemsdom  30573  ballotlemsel1i  30574  ballotlemfrceq  30590  ballotlemfrcn0  30591  ballotlem1ri  30596  ballotth  30599  nndivsub  32456  gbepos  41646  gbowpos  41647  nnsgrpmgm  41816
  Copyright terms: Public domain W3C validator