Theorem nngt0 11049

Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nngt0	|- ( A e. NN -> 0 < A )

Proof of Theorem nngt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11027	. 2 |- ( A e. NN -> A e. RR )
2		nnge1 11046	. 2 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )
3		0lt1 10550	. . 3 |- 0 < 1
4		0re 10040	. . . 4 |- 0 e. RR
5		1re 10039	. . . 4 |- 1 e. RR
6		ltletr 10129	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
7	4, 5, 6	mp3an12 1414	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
8	3, 7	mpani 712	. 2 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
9	1, 2, 8	sylc 65	1 |- ( A e. NN -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  nnnle0  11051  nngt0i  11054  nnsub  11059  nngt0d  11064  nnrecl  11290  nn0ge0  11318  0mnnnnn0  11325  elnnnn0b  11337  nn0sub  11343  elnnz  11387  nnm1ge0  11445  gtndiv  11454  rpnnen1lem2  11814  rpnnen1lem1  11815  rpnnen1lem3  11816  rpnnen1lem5  11818  rpnnen1lem1OLD  11821  rpnnen1lem3OLD  11822  rpnnen1lem5OLD  11824  nnrp  11842  nnledivrp  11940  qbtwnre  12030  fzo1fzo0n0  12518  ubmelfzo  12532  elfznelfzo  12573  adddivflid  12619  flltdivnn0lt  12634  quoremz  12654  quoremnn0ALT  12656  intfracq  12658  fldiv  12659  expnnval  12863  nnlesq  12968  facdiv  13074  faclbnd  13077  bc0k  13098  harmonic  14591  nndivdvds  14989  evennn2n  15075  nnoddm1d2  15102  ndvdssub  15133  ndvdsadd  15134  sqgcd  15278  lcmgcdlem  15319  qredeu  15372  isprm5  15419  divdenle  15457  hashgcdlem  15493  oddprm  15515  pythagtriplem12  15531  pythagtriplem13  15532  pythagtriplem14  15533  pythagtriplem16  15535  pythagtriplem19  15538  pc2dvds  15583  fldivp1  15601  prmreclem3  15622  prmgaplem7  15761  mulgnn  17547  mulgnegnn  17551  odmodnn0  17959  prmirredlem  19841  znidomb  19910  fvmptnn04if  20654  chfacfscmul0  20663  chfacfpmmul0  20667  dyadss  23362  volivth  23375  vitali  23382  mbfi1fseqlem3  23484  itg2gt0  23527  dgrcolem2  24030  logtayllem  24405  leibpi  24669  eldmgm  24748  basellem6  24812  muinv  24919  logfac2  24942  bcmono  25002  bposlem5  25013  bposlem6  25014  lgsval4a  25044  gausslemma2dlem1a  25090  ostth2lem1  25307  ostth2lem3  25324  clwwlksf1  26917  minvecolem3  27732  tgoldbachgtda  30739  subfaclim  31170  subfacval3  31171  snmlff  31311  nn0prpwlem  32317  nndivsub  32456  nndivlub  32457  poimirlem32  33441  fzmul  33537  irrapxlem1  37386  irrapxlem2  37387  pellexlem1  37393  monotoddzzfi  37507  rmynn  37523  jm2.24nn  37526  jm2.17c  37529  congabseq  37541  jm2.20nn  37564  rmydioph  37581  dgrsub2  37705  idomrootle  37773  rp-isfinite6  37864  stoweidlem17  40234  stoweidlem49  40266  wallispilem4  40285  stirlinglem6  40296  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  fourierdlem73  40396  fourierdlem111  40434  2ffzoeq  41338  iccpartltu  41361  ccats1pfxeqrex  41422  fmtnosqrt  41451  2pwp1prm  41503