Theorem cnfcom3clem 8602

Description: Lemma for cnfcom3c 8603. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom3c.s	|- S = dom ( om CNF A )
cnfcom3c.f	|- F = ( `' ( om CNF A ) ` b )
cnfcom3c.g	|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
cnfcom3c.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
cnfcom3c.t	|- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
cnfcom3c.m	|- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
cnfcom3c.k	|- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
cnfcom3c.w	|- W = ( G ` U. dom G )
cnfcom3c.x	|- X = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( F ` W ) .o v ) +o u ) )
cnfcom3c.y	|- Y = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o u ) +o v ) )
cnfcom3c.n	|- N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) )
cnfcom3c.l	|- L = ( b e. ( om ^o A ) |-> N )

Assertion

Ref	Expression
cnfcom3clem	|- ( A e. On -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )

Distinct variable groups:   g, b, k, u, v, w, x, z, A   u, K, v   g, L, w   x, M   u, T, v, z   f, k, u, v, x, z, F   f, G, k, u, v, x, z   f, H, u, v, x   S, k, z   u, W, v, w, x

Allowed substitution hints:   A( f)   S( x, w, v, u, f, g, b)   T( x, w, f, g, k, b)   F( w, g, b)   G( w, g, b)   H( z, w, g, k, b)   K( x, z, w, f, g, k, b)   L( x, z, v, u, f, k, b)   M( z, w, v, u, f, g, k, b)   N( x, z, w, v, u, f, g, k, b)   W( z, f, g, k, b)   X( x, z, w, v, u, f, g, k, b)   Y( x, z, w, v, u, f, g, k, b)

Proof of Theorem cnfcom3clem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom3c.s	. . . . . 6 |- S = dom ( om CNF A )
2		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> A e. On )
3		omelon 8543	. . . . . . . . 9 |- om e. On
4		1onn 7719	. . . . . . . . 9 |- 1o e. om
5		ondif2 7582	. . . . . . . . 9 |- ( om e. ( On \ 2o ) <-> ( om e. On /\ 1o e. om ) )
6	3, 4, 5	mpbir2an 955	. . . . . . . 8 |- om e. ( On \ 2o )
7		oeworde 7673	. . . . . . . 8 |- ( ( om e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> A C_ ( om ^o A ) )
8	6, 2, 7	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> A C_ ( om ^o A ) )
9		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> b e. A )
10	8, 9	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> b e. ( om ^o A ) )
11		cnfcom3c.f	. . . . . 6 |- F = ( `' ( om CNF A ) ` b )
12		cnfcom3c.g	. . . . . 6 |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
13		cnfcom3c.h	. . . . . 6 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
14		cnfcom3c.t	. . . . . 6 |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
15		cnfcom3c.m	. . . . . 6 |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
16		cnfcom3c.k	. . . . . 6 |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
17		cnfcom3c.w	. . . . . 6 |- W = ( G ` U. dom G )
18		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> om C_ b )
19	1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	cnfcom3lem 8600	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> W e. ( On \ 1o ) )
20		cnfcom3c.x	. . . . . . 7 |- X = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( F ` W ) .o v ) +o u ) )
21		cnfcom3c.y	. . . . . . 7 |- Y = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o u ) +o v ) )
22		cnfcom3c.n	. . . . . . 7 |- N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) )
23	1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22	cnfcom3 8601	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
24		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) -> N : b --> ( om ^o W ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N : b --> ( om ^o W ) )
26		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- b e. _V
27		fex 6490	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : b --> ( om ^o W ) /\ b e. _V ) -> N e. _V )
28	25, 26, 27	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N e. _V )
29		cnfcom3c.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( b e. ( om ^o A ) |-> N )
30	29	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( om ^o A ) /\ N e. _V ) -> ( L ` b ) = N )
31	10, 28, 30	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( L ` b ) = N )
32		f1oeq1 6127	. . . . . . 7 |- ( ( L ` b ) = N -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
34	23, 33	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
35		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( om ^o w ) = ( om ^o W ) )
36		f1oeq3 6129	. . . . . . 7 |- ( ( om ^o w ) = ( om ^o W ) -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
38	37	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( W e. ( On \ 1o ) /\ ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) )
39	19, 34, 38	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) )
40	39	3expia 1267	. . 3 |- ( ( A e. On /\ b e. A ) -> ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
41	40	ralrimiva 2966	. 2 |- ( A e. On -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
42		ovex 6678	. . . . 5 |- ( om ^o A ) e. _V
43	42	mptex 6486	. . . 4 |- ( b e. ( om ^o A ) |-> N ) e. _V
44	29, 43	eqeltri 2697	. . 3 |- L e. _V
45		nfmpt1 4747	. . . . . 6 |- F/_ b ( b e. ( om ^o A ) |-> N )
46	29, 45	nfcxfr 2762	. . . . 5 |- F/_ b L
47	46	nfeq2 2780	. . . 4 |- F/ b g = L
48		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( g = L -> ( g ` b ) = ( L ` b ) )
49		f1oeq1 6127	. . . . . . 7 |- ( ( g ` b ) = ( L ` b ) -> ( ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 |- ( g = L -> ( ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
51	50	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( g = L -> ( E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
52	51	imbi2d 330	. . . 4 |- ( g = L -> ( ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) <-> ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) )
53	47, 52	ralbid 2983	. . 3 |- ( g = L -> ( A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) <-> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) )
54	44, 53	spcev 3300	. 2 |- ( A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
55	41, 54	syl 17	1 |- ( A e. On -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   o. ccom 5118   Oncon0 5723   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   supp csupp 7295  seq_𝜔cseqom 7542   1oc1o 7553   2oc2o 7554   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  cnfcom3c  8603