Theorem peano2zd 11485

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	|- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		peano2z 11418	. 2 |- ( A e. ZZ -> ( A + 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  11818  rpnnen1lem5OLD  11824  fznatpl1  12395  elfzom1elp1fzo1  12568  flge  12606  2tnp1ge0ge0  12630  uzsup  12662  seqf1olem1  12840  bcp1nk  13104  bcval5  13105  cshimadifsn0  13576  rexuzre  14092  limsupgre  14212  rlimclim1  14276  iseraltlem2  14413  telfsumo  14534  fsumparts  14538  climcnds  14583  geo2sum  14604  clim2prod  14620  clim2div  14621  fprodntriv  14672  dvdsfac  15048  2tp1odd  15076  opoe  15087  bits0o  15152  bitsp1o  15155  bitsinv1lem  15163  smupvallem  15205  smueqlem  15212  hashdvds  15480  prmreclem4  15623  prmreclem5  15624  vdwnnlem3  15701  prmgaplem7  15761  prmgaplem8  15762  sylow1lem1  18013  telgsumfzs  18386  srgbinomlem3  18542  chfacfscmul0  20663  chfacfpmmul0  20667  ovoliunlem2  23271  ovolicc2lem4  23288  uniioombllem3  23353  dyaddisjlem  23363  dvfsumlem1  23789  dvfsumlem3  23791  plyco0  23948  abelthlem6  24190  birthdaylem2  24679  wilthlem1  24794  wilth  24797  wilthimp  24798  basellem3  24809  chpp1  24881  perfect  24956  bcmono  25002  lgslem1  25022  lgsval2lem  25032  gausslemma2dlem5  25096  lgseisenlem1  25100  lgsquadlem1  25105  m1lgs  25113  2lgslem1a  25116  2lgslem3c  25123  2lgslem3d  25124  2lgslem3b1  25126  2lgslem3c1  25127  2sqblem  25156  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrisumlema  25177  dchrisumlem2  25179  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntlemq  25290  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pntlemf  25294  axlowdimlem16  25837  crctcshwlkn0lem3  26704  crctcshwlkn0lem6  26707  clwwlksf  26915  eucrct2eupth  27105  isarchi3  29741  archirngz  29743  archiabllem1a  29745  archiabllem2c  29749  submateqlem1  29873  ballotlemsf1o  30575  ballotlemsima  30577  signstfvn  30646  fsum2dsub  30685  breprexplemc  30710  dnizphlfeqhlf  32466  dnibndlem13  32480  knoppndvlem10  32512  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem15  32517  knoppndvlem17  32519  ltflcei  33397  poimirlem2  33411  poimirlem10  33419  poimirlem15  33424  poimirlem19  33428  poimirlem23  33432  poimirlem28  33437  fdc  33541  incsequz  33544  cntotbnd  33595  lzunuz  37331  lzenom  37333  ltrmxnn0  37516  jm2.17a  37527  jm2.17b  37528  jm2.17c  37529  jm2.24  37530  rmygeid  37531  jm2.25  37566  jm2.27a  37572  jm3.1lem1  37584  expdiophlem1  37588  monoords  39511  fmul01lt1lem1  39816  climsuselem1  39839  sumnnodd  39862  supcnvlimsup  39972  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnmul  40158  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195  stoweidlem26  40243  wallispilem4  40285  stirlinglem4  40294  stirlinglem8  40298  stirlinglem11  40301  stirlinglem13  40303  dirkertrigeqlem1  40315  dirkercncflem2  40321  fourierdlem11  40335  fourierdlem12  40336  fourierdlem15  40339  fourierdlem41  40365  fourierdlem50  40373  fourierdlem64  40387  fourierdlem65  40388  fourierdlem79  40402  caratheodorylem1  40740  smflimsuplem4  41029  iccpartgtprec  41356  iccpartiltu  41358  iccpartgt  41363  iccpartnel  41374  fmtnodvds  41456  fmtnoprmfac2lem1  41478  evenp1odd  41553  oddp1eveni  41554  opoeALTV  41594  evenltle  41626  perfectALTV  41632  fllogbd  42354  nnpw2blen  42374  dignn0flhalflem2  42410  nn0sumshdiglemA  42413  aacllem  42547