Theorem oppccatid 16379

Description: Lemma for oppccat 16382. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppcbas.1	|- O = (oppCat ` C )

Assertion

Ref	Expression
oppccatid	|- ( C e. Cat -> ( O e. Cat /\ ( Id ` O ) = ( Id ` C ) ) )

Proof of Theorem oppccatid

Dummy variables f g h w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcbas.1	. . . . 5 |- O = (oppCat ` C )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
3	1, 2	oppcbas 16378	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` O )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( C e. Cat -> ( Base ` C ) = ( Base ` O ) )
5		eqidd 2623	. . 3 |- ( C e. Cat -> ( Hom ` O ) = ( Hom ` O ) )
6		eqidd 2623	. . 3 |- ( C e. Cat -> (comp ` O ) = (comp ` O ) )
7		fvex 6201	. . . . 5 |- (oppCat ` C ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2697	. . . 4 |- O e. _V
9	8	a1i 11	. . 3 |- ( C e. Cat -> O e. _V )
10		biid 251	. . 3 |- ( ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) <-> ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) )
11		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
12		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
13		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ y e. ( Base ` C ) ) -> C e. Cat )
14		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ y e. ( Base ` C ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
15	2, 11, 12, 13, 14	catidcl 16343	. . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( ( Id ` C ) ` y ) e. ( y ( Hom ` C ) y ) )
16	11, 1	oppchom 16375	. . . 4 |- ( y ( Hom ` O ) y ) = ( y ( Hom ` C ) y )
17	15, 16	syl6eleqr 2712	. . 3 |- ( ( C e. Cat /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( ( Id ` C ) ` y ) e. ( y ( Hom ` O ) y ) )
18		eqid 2622	. . . . 5 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
19		simpr1l 1118	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
20		simpr1r 1119	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
21	2, 18, 1, 19, 20, 20	oppcco 16377	. . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( ( ( Id ` C ) ` y ) ( <. x , y >. (comp ` O ) y ) f ) = ( f ( <. y , y >. (comp ` C ) x ) ( ( Id ` C ) ` y ) ) )
22		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> C e. Cat )
23		simpr31 1151	. . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` O ) y ) )
24	11, 1	oppchom 16375	. . . . . 6 |- ( x ( Hom ` O ) y ) = ( y ( Hom ` C ) x )
25	23, 24	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> f e. ( y ( Hom ` C ) x ) )
26	2, 11, 12, 22, 20, 18, 19, 25	catrid 16345	. . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( f ( <. y , y >. (comp ` C ) x ) ( ( Id ` C ) ` y ) ) = f )
27	21, 26	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( ( ( Id ` C ) ` y ) ( <. x , y >. (comp ` O ) y ) f ) = f )
28		simpr2l 1120	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> z e. ( Base ` C ) )
29	2, 18, 1, 20, 20, 28	oppcco 16377	. . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( g ( <. y , y >. (comp ` O ) z ) ( ( Id ` C ) ` y ) ) = ( ( ( Id ` C ) ` y ) ( <. z , y >. (comp ` C ) y ) g ) )
30		simpr32 1152	. . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` O ) z ) )
31	11, 1	oppchom 16375	. . . . . 6 |- ( y ( Hom ` O ) z ) = ( z ( Hom ` C ) y )
32	30, 31	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> g e. ( z ( Hom ` C ) y ) )
33	2, 11, 12, 22, 28, 18, 20, 32	catlid 16344	. . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( ( ( Id ` C ) ` y ) ( <. z , y >. (comp ` C ) y ) g ) = g )
34	29, 33	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( g ( <. y , y >. (comp ` O ) z ) ( ( Id ` C ) ` y ) ) = g )
35	2, 18, 1, 19, 20, 28	oppcco 16377	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` O ) z ) f ) = ( f ( <. z , y >. (comp ` C ) x ) g ) )
36	2, 11, 18, 22, 28, 20, 19, 32, 25	catcocl 16346	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( f ( <. z , y >. (comp ` C ) x ) g ) e. ( z ( Hom ` C ) x ) )
37	35, 36	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` O ) z ) f ) e. ( z ( Hom ` C ) x ) )
38	11, 1	oppchom 16375	. . . 4 |- ( x ( Hom ` O ) z ) = ( z ( Hom ` C ) x )
39	37, 38	syl6eleqr 2712	. . 3 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` O ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` O ) z ) )
40		simpr2r 1121	. . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> w e. ( Base ` C ) )
41		simpr33 1153	. . . . . . 7 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> h e. ( z ( Hom ` O ) w ) )
42	11, 1	oppchom 16375	. . . . . . 7 |- ( z ( Hom ` O ) w ) = ( w ( Hom ` C ) z )
43	41, 42	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> h e. ( w ( Hom ` C ) z ) )
44	2, 11, 18, 22, 40, 28, 20, 43, 32, 19, 25	catass 16347	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( ( f ( <. z , y >. (comp ` C ) x ) g ) ( <. w , z >. (comp ` C ) x ) h ) = ( f ( <. w , y >. (comp ` C ) x ) ( g ( <. w , z >. (comp ` C ) y ) h ) ) )
45	2, 18, 1, 19, 28, 40	oppcco 16377	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( h ( <. x , z >. (comp ` O ) w ) ( f ( <. z , y >. (comp ` C ) x ) g ) ) = ( ( f ( <. z , y >. (comp ` C ) x ) g ) ( <. w , z >. (comp ` C ) x ) h ) )
46	2, 18, 1, 19, 20, 40	oppcco 16377	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( ( g ( <. w , z >. (comp ` C ) y ) h ) ( <. x , y >. (comp ` O ) w ) f ) = ( f ( <. w , y >. (comp ` C ) x ) ( g ( <. w , z >. (comp ` C ) y ) h ) ) )
47	44, 45, 46	3eqtr4rd 2667	. . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( ( g ( <. w , z >. (comp ` C ) y ) h ) ( <. x , y >. (comp ` O ) w ) f ) = ( h ( <. x , z >. (comp ` O ) w ) ( f ( <. z , y >. (comp ` C ) x ) g ) ) )
48	2, 18, 1, 20, 28, 40	oppcco 16377	. . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( h ( <. y , z >. (comp ` O ) w ) g ) = ( g ( <. w , z >. (comp ` C ) y ) h ) )
49	48	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( ( h ( <. y , z >. (comp ` O ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` O ) w ) f ) = ( ( g ( <. w , z >. (comp ` C ) y ) h ) ( <. x , y >. (comp ` O ) w ) f ) )
50	35	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( h ( <. x , z >. (comp ` O ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` O ) z ) f ) ) = ( h ( <. x , z >. (comp ` O ) w ) ( f ( <. z , y >. (comp ` C ) x ) g ) ) )
51	47, 49, 50	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( C e. Cat /\ ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) /\ ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` O ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` O ) z ) /\ h e. ( z ( Hom ` O ) w ) ) ) ) -> ( ( h ( <. y , z >. (comp ` O ) w ) g ) ( <. x , y >. (comp ` O ) w ) f ) = ( h ( <. x , z >. (comp ` O ) w ) ( g ( <. x , y >. (comp ` O ) z ) f ) ) )
52	4, 5, 6, 9, 10, 17, 27, 34, 39, 51	iscatd2 16342	. 2 |- ( C e. Cat -> ( O e. Cat /\ ( Id ` O ) = ( y e. ( Base ` C ) |-> ( ( Id ` C ) ` y ) ) ) )
53	2, 12	cidfn 16340	. . . . 5 |- ( C e. Cat -> ( Id ` C ) Fn ( Base ` C ) )
54		dffn5 6241	. . . . 5 |- ( ( Id ` C ) Fn ( Base ` C ) <-> ( Id ` C ) = ( y e. ( Base ` C ) |-> ( ( Id ` C ) ` y ) ) )
55	53, 54	sylib 208	. . . 4 |- ( C e. Cat -> ( Id ` C ) = ( y e. ( Base ` C ) |-> ( ( Id ` C ) ` y ) ) )
56	55	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( C e. Cat -> ( ( Id ` O ) = ( Id ` C ) <-> ( Id ` O ) = ( y e. ( Base ` C ) |-> ( ( Id ` C ) ` y ) ) ) )
57	56	anbi2d 740	. 2 |- ( C e. Cat -> ( ( O e. Cat /\ ( Id ` O ) = ( Id ` C ) ) <-> ( O e. Cat /\ ( Id ` O ) = ( y e. ( Base ` C ) |-> ( ( Id ` C ) ` y ) ) ) ) )
58	52, 57	mpbird 247	1 |- ( C e. Cat -> ( O e. Cat /\ ( Id ` O ) = ( Id ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326  oppCatcoppc 16371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-oppc 16372

This theorem is referenced by:  oppcid  16381  oppccat  16382