Theorem ordtrest2lem 21007

Description: Lemma for ordtrest2 21008. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ordtrest2.1	|- X = dom R
ordtrest2.2	|- ( ph -> R e. TosetRel )
ordtrest2.3	|- ( ph -> A C_ X )
ordtrest2.4	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } C_ A )

Assertion

Ref	Expression
ordtrest2lem	|- ( ph -> A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, v, x, y, z, A   ph, v, w, x, y, z   v, R, w, x, y, z   v, X, w, x, y, z

Proof of Theorem ordtrest2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab2 3900	. . . . 5 |- ( { w e. X | -. w R z } i^i A ) = { w e. ( X i^i A ) | -. w R z }
2		ordtrest2.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ X )
3		sseqin2 3817	. . . . . . . 8 |- ( A C_ X <-> ( X i^i A ) = A )
4	2, 3	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X i^i A ) = A )
5	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( X i^i A ) = A )
6		rabeq 3192	. . . . . 6 |- ( ( X i^i A ) = A -> { w e. ( X i^i A ) | -. w R z } = { w e. A | -. w R z } )
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> { w e. ( X i^i A ) | -. w R z } = { w e. A | -. w R z } )
8	1, 7	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( { w e. X | -. w R z } i^i A ) = { w e. A | -. w R z } )
9		ordtrest2.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. TosetRel )
10		inex1g 4801	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. TosetRel -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( R i^i ( A X. A ) ) = dom ( R i^i ( A X. A ) )
13	12	ordttopon 20997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
15		tsrps 17221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. TosetRel -> R e. PosetRel )
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. PosetRel )
17		ordtrest2.1	. . . . . . . . . . . 12 |- X = dom R
18	17	psssdm 17216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. PosetRel /\ A C_ X ) -> dom ( R i^i ( A X. A ) ) = A )
19	16, 2, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( R i^i ( A X. A ) ) = A )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (TopOn ` dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) = (TopOn ` A ) )
21	14, 20	eleqtrd 2703	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) )
22		toponmax 20730	. . . . . . . 8 |- ( (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. (TopOn ` A ) -> A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
24	23	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
25		rabid2 3118	. . . . . . 7 |- ( A = { w e. A | -. w R z } <-> A. w e. A -. w R z )
26		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( A = { w e. A | -. w R z } -> ( A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
27	25, 26	sylbir 225	. . . . . 6 |- ( A. w e. A -. w R z -> ( A e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
28	24, 27	syl5ibcom 235	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( A. w e. A -. w R z -> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
29		dfrex2 2996	. . . . . . 7 |- ( E. w e. A w R z <-> -. A. w e. A -. w R z )
30		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w R z <-> x R z ) )
31	30	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. w e. A w R z <-> E. x e. A x R z )
32	29, 31	bitr3i 266	. . . . . 6 |- ( -. A. w e. A -. w R z <-> E. x e. A x R z )
33		ordttop 21004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
34	11, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top )
36		0opn 20709	. . . . . . . . . . 11 |- ( (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) e. Top -> (/) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> (/) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) -> (/) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
39		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( { w e. A | -. w R z } = (/) -> ( { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> (/) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
40	38, 39	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) -> ( { w e. A | -. w R z } = (/) -> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
41		rabn0 3958	. . . . . . . . . 10 |- ( { w e. A | -. w R z } =/= (/) <-> E. w e. A -. w R z )
42		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = y -> ( w R z <-> y R z ) )
43	42	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> ( -. w R z <-> -. y R z ) )
44	43	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. w e. A -. w R z <-> E. y e. A -. y R z )
45	41, 44	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( { w e. A | -. w R z } =/= (/) <-> E. y e. A -. y R z )
46	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) /\ y e. A ) -> R e. TosetRel )
47	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) -> A C_ X )
48	47	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) /\ y e. A ) -> y e. X )
49		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) /\ y e. A ) -> z e. X )
50	17	tsrlin 17219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. TosetRel /\ y e. X /\ z e. X ) -> ( y R z \/ z R y ) )
51	46, 48, 49, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) /\ y e. A ) -> ( y R z \/ z R y ) )
52	51	ord 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) /\ y e. A ) -> ( -. y R z -> z R y ) )
53		an4 865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. A /\ x R z ) /\ ( y e. A /\ z R y ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( x R z /\ z R y ) ) )
54		ordtrest2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } C_ A )
55		rabss 3679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( { z e. X | ( x R z /\ z R y ) } C_ A <-> A. z e. X ( ( x R z /\ z R y ) -> z e. A ) )
56	54, 55	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> A. z e. X ( ( x R z /\ z R y ) -> z e. A ) )
57	56	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ z e. X ) -> ( ( x R z /\ z R y ) -> z e. A ) )
58	57	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x R z /\ z R y ) -> z e. A ) )
59	58	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( x R z /\ z R y ) ) ) -> z e. A )
60	53, 59	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( ( x e. A /\ x R z ) /\ ( y e. A /\ z R y ) ) ) -> z e. A )
61		brinxp 5181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( w e. A /\ z e. A ) -> ( w R z <-> w ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
62	61	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( w R z <-> w ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
63	62	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. A /\ w e. A ) -> ( -. w R z <-> -. w ( R i^i ( A X. A ) ) z ) )
64	63	rabbidva 3188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. A -> { w e. A | -. w R z } = { w e. A | -. w ( R i^i ( A X. A ) ) z } )
65	60, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( ( x e. A /\ x R z ) /\ ( y e. A /\ z R y ) ) ) -> { w e. A | -. w R z } = { w e. A | -. w ( R i^i ( A X. A ) ) z } )
66	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( ( x e. A /\ x R z ) /\ ( y e. A /\ z R y ) ) ) -> dom ( R i^i ( A X. A ) ) = A )
67		rabeq 3192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dom ( R i^i ( A X. A ) ) = A -> { w e. dom ( R i^i ( A X. A ) ) | -. w ( R i^i ( A X. A ) ) z } = { w e. A | -. w ( R i^i ( A X. A ) ) z } )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( ( x e. A /\ x R z ) /\ ( y e. A /\ z R y ) ) ) -> { w e. dom ( R i^i ( A X. A ) ) | -. w ( R i^i ( A X. A ) ) z } = { w e. A | -. w ( R i^i ( A X. A ) ) z } )
69	65, 68	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( ( x e. A /\ x R z ) /\ ( y e. A /\ z R y ) ) ) -> { w e. A | -. w R z } = { w e. dom ( R i^i ( A X. A ) ) | -. w ( R i^i ( A X. A ) ) z } )
70	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( ( x e. A /\ x R z ) /\ ( y e. A /\ z R y ) ) ) -> ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V )
71	60, 66	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( ( x e. A /\ x R z ) /\ ( y e. A /\ z R y ) ) ) -> z e. dom ( R i^i ( A X. A ) ) )
72	12	ordtopn1 20998	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R i^i ( A X. A ) ) e. _V /\ z e. dom ( R i^i ( A X. A ) ) ) -> { w e. dom ( R i^i ( A X. A ) ) | -. w ( R i^i ( A X. A ) ) z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
73	70, 71, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( ( x e. A /\ x R z ) /\ ( y e. A /\ z R y ) ) ) -> { w e. dom ( R i^i ( A X. A ) ) | -. w ( R i^i ( A X. A ) ) z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
74	69, 73	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( ( x e. A /\ x R z ) /\ ( y e. A /\ z R y ) ) ) -> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
75	74	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) /\ ( y e. A /\ z R y ) ) -> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
76	75	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) /\ y e. A ) -> ( z R y -> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
77	52, 76	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) /\ y e. A ) -> ( -. y R z -> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
78	77	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) -> ( E. y e. A -. y R z -> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
79	45, 78	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) -> ( { w e. A | -. w R z } =/= (/) -> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
80	40, 79	pm2.61dne 2880	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. X ) /\ ( x e. A /\ x R z ) ) -> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
81	80	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( E. x e. A x R z -> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
82	32, 81	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( -. A. w e. A -. w R z -> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
83	28, 82	pm2.61d 170	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> { w e. A | -. w R z } e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
84	8, 83	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> ( { w e. X | -. w R z } i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
85	84	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. z e. X ( { w e. X | -. w R z } i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )
86		dmexg 7097	. . . . . . 7 |- ( R e. TosetRel -> dom R e. _V )
87	9, 86	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom R e. _V )
88	17, 87	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> X e. _V )
89		rabexg 4812	. . . . 5 |- ( X e. _V -> { w e. X | -. w R z } e. _V )
90	88, 89	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> { w e. X | -. w R z } e. _V )
91	90	ralrimivw 2967	. . 3 |- ( ph -> A. z e. X { w e. X | -. w R z } e. _V )
92		eqid 2622	. . . 4 |- ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) = ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } )
93		ineq1 3807	. . . . 5 |- ( v = { w e. X | -. w R z } -> ( v i^i A ) = ( { w e. X | -. w R z } i^i A ) )
94	93	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( v = { w e. X | -. w R z } -> ( ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> ( { w e. X | -. w R z } i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
95	92, 94	ralrnmpt 6368	. . 3 |- ( A. z e. X { w e. X | -. w R z } e. _V -> ( A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> A. z e. X ( { w e. X | -. w R z } i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
96	91, 95	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) <-> A. z e. X ( { w e. X | -. w R z } i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) ) )
97	85, 96	mpbird 247	1 |- ( ph -> A. v e. ran ( z e. X |-> { w e. X | -. w R z } ) ( v i^i A ) e. (ordTop ` ( R i^i ( A X. A ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  ordTopcordt 16159   PosetRelcps 17198   TosetRel ctsr 17199   Topctop 20698  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  ordtrest2  21008