pfxccat3 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem pfxccat3 41426

Description: The subword of a concatenation is either a subword of the first concatenated word or a subword of the second concatenated word or a concatenation of a suffix of the first word with a prefix of the second word. Could replace swrdccat3 13492. (Contributed by AV, 10-May-2020.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pfxccatin12.l

**Assertion**
Ref	Expression
pfxccat3	Word $/\$ Word $/\$ ++ substr substr substr substr ++ prefix

**Proof of Theorem pfxccat3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ Word
2		simplrl 800	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$
3		lencl 13324	. . . . . . . . 9 Word
4		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . 14
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
7		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
8		pfxccatin12.l	. . . . . . . . . . . . . . 15
9	8	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . 14
10	9	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
12		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
13	6, 7, 11, 12	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
14	13	exp31 630	. . . . . . . . . 10
15	14	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
16	3, 15	syl5com 31	. . . . . . . 8 Word $/\$
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 Word $/\$ Word $/\$
18	17	imp 445	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
19	18	imp 445	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$
20	2, 19	jca 554	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		swrdccatin1 13483	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ ++ substr substr
22	1, 20, 21	sylc 65	. . 3 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ++ substr substr
23		simp1l 1085	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ Word
24	8	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . 11
25		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
26		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
28		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
29	28	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
31		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
34	27, 30, 33	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
37	36	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	37	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	35, 38, 39	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
42	25, 41	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
44	43	com12 32	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	24, 44	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 $/\$
46	3, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 Word $/\$
47	46	adantr 481	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word $/\$
48	47	imp 445	. . . . . . 7 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
49	48	a1d 25	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
50	49	3imp 1256	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
52		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
53	8, 52	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57	56	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	55, 58, 60	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	8	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
63	62	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
65		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
66		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
67	64, 65, 66	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
68	67	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
69		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
70	64, 65, 69	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
71	68, 70	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
72	71	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73	63, 72	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
74	73	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
75	74	imp32 449	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	75, 76	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	61, 77, 78	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80	79	exp32 631	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
81	51, 80	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
83	3, 82	syl5com 31	. . . . . . . . 9 Word $/\$
84	83	adantr 481	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word $/\$
85	84	imp 445	. . . . . . 7 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
86	85	a1dd 50	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
87	86	3imp 1256	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	50, 87	jca 554	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	8	swrdccatin2 13487	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ ++ substr substr
90	23, 88, 89	sylc 65	. . 3 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ++ substr substr
91		simp1l 1085	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Word $/\$ Word
92		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
94		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
95	93, 64, 94	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
96	95	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
97		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
98		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
99		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
100	92, 64, 99	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
101	100	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
102		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
103	97, 98, 101, 102	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
104	103	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
106	105	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
107	96, 106	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
108	107	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
109	108	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	25, 109	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12
111	63, 110	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
113	3, 112	syl5com 31	. . . . . . . . 9 Word $/\$
114	113	adantr 481	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word $/\$
115	114	imp 445	. . . . . . 7 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
116	115	a1d 25	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
117	116	3imp 1256	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	65	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
119	66	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
120	64, 118, 119	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
121	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
122	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
123	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
124	121, 122, 123	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	64, 118, 69	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
127	126	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128		simplr3 1105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	127, 128	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	125, 129, 78	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
132	120, 131	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
133	132	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
134	63, 133	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
135	3, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
137	136	com12 32	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ Word $/\$ Word
138	51, 137	sylbi 207	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word
139	138	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ Word $/\$ Word
140	139	impcom 446	. . . . . . 7 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
141	140	a1dd 50	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
142	141	3imp 1256	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	117, 142	jca 554	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	8	pfxccatin12 41425	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ ++ substr substr ++ prefix
145	91, 143, 144	sylc 65	. . 3 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ++ substr substr ++ prefix
146	22, 90, 145	2if2 4136	. 2 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ ++ substr substr substr substr ++ prefix
147	146	ex 450	1 Word $/\$ Word $/\$ ++ substr substr substr substr ++ prefix

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cif 4086

cop 4183 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn0 11292

cz 11377

cfz 12326

chash 13117 Word cword 13291 ++ cconcat 13293 substr csubstr 13295 prefix cpfx 41381

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-concat 13301 df-substr 13303 df-pfx 41382

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