Theorem nn0mulcld 11356

Description: Closure of multiplication of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0red.1	|- ( ph -> A e. NN0 )
nn0addcld.2	|- ( ph -> B e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
nn0mulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. NN0 )

Proof of Theorem nn0mulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 |- ( ph -> A e. NN0 )
2		nn0addcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. NN0 )
3		nn0mulcl 11329	. 2 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A x. B ) e. NN0 )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   x. cmul 9941   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  12656  expmulz  12906  faclbnd4lem3  13082  oddge22np1  15073  mulgcd  15265  rpmulgcd2  15370  hashgcdlem  15493  odzdvds  15500  prmreclem3  15622  vdwapf  15676  vdwlem5  15689  vdwlem6  15690  odmodnn0  17959  odmulg  17973  odadd  18253  ablfacrplem  18464  ablfacrp2  18466  2lgslem1c  25118  2lgslem3a  25121  2lgslem3b  25122  2lgslem3c  25123  2lgslem3d  25124  dchrisumlem1  25178  eulerpartlemsv2  30420  eulerpartlemsf  30421  eulerpartlems  30422  eulerpartlemv  30426  eulerpartlemb  30430  breprexplemc  30710  erdsze2lem1  31185  erdsze2lem2  31186  pell1qrge1  37434  jm2.27c  37574  rmxdiophlem  37582  stoweidlem1  40218  wallispilem4  40285  wallispilem5  40286  wallispi2lem2  40289  stirlinglem3  40293  stirlinglem5  40295  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  stirlinglem11  40301  etransclem32  40483  etransclem44  40495  etransclem46  40497  fmtnofac2lem  41480  fmtnofac1  41482  2pwp1prm  41503  lighneallem3  41524  ply1mulgsumlem2  42175