bcprod - Mathbox for Scott Fenton

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Theorem bcprod 31624

Description: A product identity for binomial coefficents. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jun-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcprod

Distinct variable group:

Proof of Theorem bcprod Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . . 7
2		1m1e0 11089	. . . . . . 7
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . . . 6
4	3	oveq2d 6666	. . . . 5
5		fz10 12362	. . . . 5
6	4, 5	syl6eq 2672	. . . 4
7	3	oveq1d 6665	. . . . 5
8	7	adantr 481	. . . 4 $/\$
9	6, 8	prodeq12dv 14656	. . 3
10		oveq2 6658	. . . . . 6
11	10	oveq2d 6666	. . . . 5
12	11	adantr 481	. . . 4 $/\$
13	6, 12	prodeq12dv 14656	. . 3
14	9, 13	eqeq12d 2637	. 2
15		oveq1 6657	. . . . 5
16	15	oveq2d 6666	. . . 4
17	15	oveq1d 6665	. . . . 5
18	17	adantr 481	. . . 4 $/\$
19	16, 18	prodeq12dv 14656	. . 3
20		oveq2 6658	. . . . . 6
21	20	oveq2d 6666	. . . . 5
22	21	adantr 481	. . . 4 $/\$
23	16, 22	prodeq12dv 14656	. . 3
24	19, 23	eqeq12d 2637	. 2
25		oveq1 6657	. . . . 5
26	25	oveq2d 6666	. . . 4
27	25	oveq1d 6665	. . . . 5
28	27	adantr 481	. . . 4 $/\$
29	26, 28	prodeq12dv 14656	. . 3
30		oveq2 6658	. . . . . 6
31	30	oveq2d 6666	. . . . 5
32	31	adantr 481	. . . 4 $/\$
33	26, 32	prodeq12dv 14656	. . 3
34	29, 33	eqeq12d 2637	. 2
35		oveq1 6657	. . . . 5
36	35	oveq2d 6666	. . . 4
37	35	oveq1d 6665	. . . . 5
38	37	adantr 481	. . . 4 $/\$
39	36, 38	prodeq12dv 14656	. . 3
40		oveq2 6658	. . . . . 6
41	40	oveq2d 6666	. . . . 5
42	41	adantr 481	. . . 4 $/\$
43	36, 42	prodeq12dv 14656	. . 3
44	39, 43	eqeq12d 2637	. 2
45		prod0 14673	. . 3
46		prod0 14673	. . 3
47	45, 46	eqtr4i 2647	. 2
48		simpr 477	. . . . 5 $/\$
49	48	oveq1d 6665	. . . 4 $/\$
50		nncn 11028	. . . . . . . . 9
51		1cnd 10056	. . . . . . . . 9
52	50, 51	pncand 10393	. . . . . . . 8
53	52	oveq2d 6666	. . . . . . 7
54	52	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
55	54	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
56	53, 55	prodeq12dv 14656	. . . . . 6
57		elnnuz 11724	. . . . . . . 8
58	57	biimpi 206	. . . . . . 7
59		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9
60		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9
61		bccl 13109	. . . . . . . . 9 $/\$
62	59, 60, 61	syl2an 494	. . . . . . . 8 $/\$
63	62	nn0cnd 11353	. . . . . . 7 $/\$
64		oveq2 6658	. . . . . . 7
65	58, 63, 64	fprodm1 14697	. . . . . 6
66		bcnn 13099	. . . . . . . . 9
67	59, 66	syl 17	. . . . . . . 8
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . 7
69		fzfid 12772	. . . . . . . . 9
70		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11
71	59, 70, 61	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$
72	71	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 $/\$
73	69, 72	fprodcl 14682	. . . . . . . 8
74	73	mulid1d 10057	. . . . . . 7
75		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . 12
76		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . 12
77	75, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
78	77	sseli 3599	. . . . . . . . . 10
79		bcm1nt 31623	. . . . . . . . . 10 $/\$
80	78, 79	sylan2 491	. . . . . . . . 9 $/\$
81	80	prodeq2dv 14653	. . . . . . . 8
82		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . 11
83		bccl 13109	. . . . . . . . . . 11 $/\$
84	82, 70, 83	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$
85	84	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 $/\$
86	50	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
87		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
89	88	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
90	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
91	90	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
92		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
94		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . 14
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
96	93	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	89, 91, 93, 95, 96	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99		nnsub 11059	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
100	88, 98, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
101	97, 100	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$
102	101	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 $/\$
103	101	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 $/\$
104	86, 102, 103	divcld 10801	. . . . . . . . 9 $/\$
105	69, 85, 104	fprodmul 14690	. . . . . . . 8
106	69, 86, 102, 103	fproddiv 14691	. . . . . . . . . 10
107		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . . 13
108		fprodconst 14708	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
109	107, 50, 108	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12
110		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . 14
111	82, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
112	111	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
113	109, 112	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11
114		fprodfac 14703	. . . . . . . . . . . . 13
115	82, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
116		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13
117		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13
118	82	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13
119		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	120	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
122		id 22	. . . . . . . . . . . . 13
123	116, 117, 118, 121, 122	fprodrev 14707	. . . . . . . . . . . 12
124	50, 51	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . 14
125	124	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
126	125	prodeq1d 14651	. . . . . . . . . . . 12
127	115, 123, 126	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11
128	113, 127	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
129	106, 128	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9
130	129	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
131	81, 105, 130	3eqtrd 2660	. . . . . . 7
132	68, 74, 131	3eqtrd 2660	. . . . . 6
133	56, 65, 132	3eqtrd 2660	. . . . 5
134	133	adantr 481	. . . 4 $/\$
135	53	prodeq1d 14651	. . . . . 6
136		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10
137	136	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
138	137	nncnd 11036	. . . . . . . 8 $/\$
139	137	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 $/\$
140		2nn 11185	. . . . . . . . . . . 12
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
142	141, 137	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . 10 $/\$
143	142	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 $/\$
144		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . 11
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
146	145	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 $/\$
147	143, 146	zsubcld 11487	. . . . . . . 8 $/\$
148	138, 139, 147	expclzd 13013	. . . . . . 7 $/\$
149		id 22	. . . . . . . 8
150		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
151	150	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
152	149, 151	oveq12d 6668	. . . . . . 7
153	58, 148, 152	fprodm1 14697	. . . . . 6
154	88	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 $/\$
155	88	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 $/\$
156	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
157	156, 88	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
158	157	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
159	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
160	158, 159	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 $/\$
161	154, 155, 160	expclzd 13013	. . . . . . . . . 10 $/\$
162	69, 161, 154, 155	fproddiv 14691	. . . . . . . . 9
163	157	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
164		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
165	163, 86, 164	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
166	165	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
167	154, 155, 160	expm1d 13018	. . . . . . . . . . 11 $/\$
168	166, 167	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 $/\$
169	168	prodeq2dv 14653	. . . . . . . . 9
170		fprodfac 14703	. . . . . . . . . . 11
171	82, 170	syl 17	. . . . . . . . . 10
172	171	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
173	162, 169, 172	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8
174	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
175		id 22	. . . . . . . . . . . . 13
176	174, 175	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . 12
177	176	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11
178	177, 50, 51	subsub4d 10423	. . . . . . . . . 10
179	50	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . 13
180	179	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
181	50, 50	pncand 10393	. . . . . . . . . . . 12
182	180, 181	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11
183	182	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
184	178, 183	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9
185	184	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
186	173, 185	oveq12d 6668	. . . . . . 7
187	69, 161	fprodcl 14682	. . . . . . . 8
188		faccl 13070	. . . . . . . . . 10
189	82, 188	syl 17	. . . . . . . . 9
190	189	nncnd 11036	. . . . . . . 8
191	50, 82	expcld 13008	. . . . . . . 8
192	189	nnne0d 11065	. . . . . . . 8
193	187, 190, 191, 192	div32d 10824	. . . . . . 7
194	186, 193	eqtrd 2656	. . . . . 6
195	135, 153, 194	3eqtrd 2660	. . . . 5
196	195	adantr 481	. . . 4 $/\$
197	49, 134, 196	3eqtr4d 2666	. . 3 $/\$
198	197	ex 450	. 2
199	14, 24, 34, 44, 47, 198	nnind 11038	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wss 3574

c0 3915 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cexp 12860

cfa 13060

cbc 13089

chash 13117

cprod 14635

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-prod 14636

This theorem is referenced by: (None)

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