Theorem gausslemma2dlem4 25094

Description: Lemma 4 for gausslemma2d 25099. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	|- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
gausslemma2d.h	|- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
gausslemma2d.r	|- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
gausslemma2d.m	|- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem4	|- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )

Distinct variable groups:   x, H   x, P   ph, x   k, H   R, k   ph, k   x, M, k   P, k

Allowed substitution hint:   R( x)

Proof of Theorem gausslemma2dlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . 3 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
2		gausslemma2d.h	. . 3 |- H = ( ( P - 1 ) / 2 )
3		gausslemma2d.r	. . 3 |- R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) )
4	1, 2, 3	gausslemma2dlem1 25091	. 2 |- ( ph -> ( ! ` H ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
5		eldif 3584	. . . 4 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( P e. Prime /\ -. P e. { 2 } ) )
6		prm23ge5 15520	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) )
7		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( P = 2 -> ( P e. { 2 } <-> 2 e. { 2 } ) )
8	7	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( P = 2 -> ( -. P e. { 2 } <-> -. 2 e. { 2 } ) )
9		2ex 11092	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. _V
10	9	snid 4208	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. { 2 }
11	10	2a1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( P = 2 -> ( prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) =/= ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) -> 2 e. { 2 } ) )
12	11	necon1bd 2812	. . . . . . . . 9 |- ( P = 2 -> ( -. 2 e. { 2 } -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
13	12	a1dd 50	. . . . . . . 8 |- ( P = 2 -> ( -. 2 e. { 2 } -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) ) )
14	8, 13	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( P = 2 -> ( -. P e. { 2 } -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) ) )
15		gausslemma2d.m	. . . . . . . . . 10 |- M = ( |_ ` ( P / 4 ) )
16		3lt4 11197	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 < 4
17		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P = 3 -> ( P < 4 <-> 3 < 4 ) )
18	16, 17	mpbiri 248	. . . . . . . . . . 11 |- ( P = 3 -> P < 4 )
19		3nn0 11310	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
20		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P = 3 -> ( P e. NN0 <-> 3 e. NN0 ) )
21	19, 20	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P = 3 -> P e. NN0 )
22		4nn 11187	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 e. NN
23		divfl0 12625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. NN0 /\ 4 e. NN ) -> ( P < 4 <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 ) )
24	21, 22, 23	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( P = 3 -> ( P < 4 <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 ) )
25	18, 24	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( P = 3 -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) = 0 )
26	15, 25	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( P = 3 -> M = 0 )
27		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M = 0 -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... 0 ) )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... M ) = ( 1 ... 0 ) )
29		fz10 12362	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
30	28, 29	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... M ) = (/) )
31	30	prodeq1d 14651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = prod_ k e. (/) ( R ` k ) )
32		prod0 14673	. . . . . . . . . . . . 13 |- prod_ k e. (/) ( R ` k ) = 1
33	31, 32	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) = 1 )
34		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M = 0 -> ( M + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( M + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
36		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 + 1 ) = 1
37	35, 36	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( M + 1 ) = 1 )
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( ( M + 1 ) ... H ) = ( 1 ... H ) )
39	38	prodeq1d 14651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
40	33, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) = ( 1 x. prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) ) )
41		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 ... H ) e. Fin )
42	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> R = ( x e. ( 1 ... H ) |-> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) ) )
43		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = k -> ( x x. 2 ) = ( k x. 2 ) )
44	43	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = k -> ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) <-> ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) ) )
45	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = k -> ( P - ( x x. 2 ) ) = ( P - ( k x. 2 ) ) )
46	44, 43, 45	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = k -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) /\ x = k ) -> if ( ( x x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( x x. 2 ) , ( P - ( x x. 2 ) ) ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> k e. ( 1 ... H ) )
49		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> k e. ZZ )
50	49	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> k e. CC )
51		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> 2 e. CC )
52	50, 51	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... H ) -> ( k x. 2 ) e. CC )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( k x. 2 ) e. CC )
54		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
55		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
56	55	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. Prime -> P e. CC )
57	1, 54, 56	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. CC )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> P e. CC )
59	58, 53	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( P - ( k x. 2 ) ) e. CC )
60	53, 59	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) e. CC )
61	42, 47, 48, 60	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) = if ( ( k x. 2 ) < ( P / 2 ) , ( k x. 2 ) , ( P - ( k x. 2 ) ) ) )
62	61, 60	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
63	62	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M = 0 /\ ph ) /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
64	41, 63	fprodcl 14682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) e. CC )
65	64	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> ( 1 x. prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) ) = prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) )
66	40, 65	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M = 0 /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
67	66	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( M = 0 -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
68	26, 67	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( P = 3 -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
69	68	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( P = 3 -> ( -. P e. { 2 } -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) ) )
70	1, 15	gausslemma2dlem0d 25084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. NN0 )
71	70	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. RR )
72	71	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M < ( M + 1 ) )
73		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... H ) ) = (/) )
76		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> P e. RR )
77		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 4 e. RR
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 4 e. RR )
79		4ne0 11117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 4 =/= 0
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 4 =/= 0 )
81	76, 78, 80	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( P / 4 ) e. RR )
82	81	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ )
83		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
84	22, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 4 e. RR+
85		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) <-> ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) )
86		4lt5 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 4 < 5
87		5re 11099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 5 e. RR
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> 5 e. RR )
89		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. ZZ -> P e. RR )
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> P e. RR )
91		ltleletr 10130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 4 e. RR /\ 5 e. RR /\ P e. RR ) -> ( ( 4 < 5 /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P ) )
92	77, 88, 90, 91	mp3an2i 1429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( ( 4 < 5 /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P ) )
93	86, 92	mpani 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( 5 <_ P -> 4 <_ P ) )
94	93	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 5 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ 5 <_ P ) -> 4 <_ P )
95	85, 94	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 4 <_ P )
96		divge1 11898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 4 e. RR+ /\ P e. RR /\ 4 <_ P ) -> 1 <_ ( P / 4 ) )
97	84, 76, 95, 96	mp3an2i 1429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 <_ ( P / 4 ) )
98		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 e. ZZ )
99		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P / 4 ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( 1 <_ ( P / 4 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
100	81, 98, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( 1 <_ ( P / 4 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
101	97, 100	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) )
102		elnnz1 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( |_ ` ( P / 4 ) ) ) )
103	82, 101, 102	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN )
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN )
105		oddprm 15515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
107		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
108	54, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
110		fldiv4lem1div2uz2 12637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) )
112	104, 106, 111	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
113	112	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
114	1, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ) )
115	114	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
116	2	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... H ) = ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) )
117	15, 116	eleq12i 2694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 1 ... H ) <-> ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
118		elfz1b 12409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. ( 1 ... ( ( P - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
119	117, 118	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 1 ... H ) <-> ( ( |_ ` ( P / 4 ) ) e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( |_ ` ( P / 4 ) ) <_ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) )
120	115, 119	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> M e. ( 1 ... H ) )
121		fzsplit 12367	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 1 ... H ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( 1 ... H ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... H ) ) )
123		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> ( 1 ... H ) e. Fin )
124	62	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) /\ k e. ( 1 ... H ) ) -> ( R ` k ) e. CC )
125	75, 122, 123, 124	fprodsplit 14696	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) /\ ph ) -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
126	125	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
127	126	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( P e. ( ZZ>= ` 5 ) -> ( -. P e. { 2 } -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) ) )
128	14, 69, 127	3jaoi 1391	. . . . . 6 |- ( ( P = 2 \/ P = 3 \/ P e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> ( -. P e. { 2 } -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) ) )
129	6, 128	syl 17	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> ( -. P e. { 2 } -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) ) )
130	129	imp 445	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ -. P e. { 2 } ) -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
131	5, 130	sylbi 207	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) ) )
132	1, 131	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( 1 ... H ) ( R ` k ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )
133	4, 132	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( ! ` H ) = ( prod_ k e. ( 1 ... M ) ( R ` k ) x. prod_ k e. ( ( M + 1 ) ... H ) ( R ` k ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   !cfa 13060   prod_cprod 14635   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  25097