Theorem fprodcom2 14714

Description: Interchange order of multiplication. Note that B ( j ) and D ( k ) are not necessarily constant expressions. (Contributed by Scott Fenton, 1-Feb-2018.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcom2.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcom2.2	|- ( ph -> C e. Fin )
fprodcom2.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fprodcom2.4	|- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. B ) <-> ( k e. C /\ j e. D ) ) )
fprodcom2.5	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> E e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodcom2	|- ( ph -> prod_ j e. A prod_ k e. B E = prod_ k e. C prod_ j e. D E )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k   C, j, k   D, j   ph, j, k

Allowed substitution hints:   B( j)   D( k)   E( j, k)

Proof of Theorem fprodcom2

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5227	. . . . . . . . 9 |- Rel ( { j } X. B )
2	1	rgenw 2924	. . . . . . . 8 |- A. j e. A Rel ( { j } X. B )
3		reliun 5239	. . . . . . . 8 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. B ) )
4	2, 3	mpbir 221	. . . . . . 7 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. B )
5		relcnv 5503	. . . . . . 7 |- Rel `' U_ k e. C ( { k } X. D )
6		ancom 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = j /\ y = k ) <-> ( y = k /\ x = j ) )
7		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
8		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
9	7, 8	opth 4945	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. x , y >. = <. j , k >. <-> ( x = j /\ y = k ) )
10	8, 7	opth 4945	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. y , x >. = <. k , j >. <-> ( y = k /\ x = j ) )
11	6, 9, 10	3bitr4i 292	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. = <. j , k >. <-> <. y , x >. = <. k , j >. )
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( <. x , y >. = <. j , k >. <-> <. y , x >. = <. k , j >. ) )
13		fprodcom2.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. B ) <-> ( k e. C /\ j e. D ) ) )
14	12, 13	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) <-> ( <. y , x >. = <. k , j >. /\ ( k e. C /\ j e. D ) ) ) )
15	14	2exbidv 1852	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) <-> E. j E. k ( <. y , x >. = <. k , j >. /\ ( k e. C /\ j e. D ) ) ) )
16		eliunxp 5259	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) )
17	7, 8	opelcnv 5304	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. `' U_ k e. C ( { k } X. D ) <-> <. y , x >. e. U_ k e. C ( { k } X. D ) )
18		eliunxp 5259	. . . . . . . . 9 |- ( <. y , x >. e. U_ k e. C ( { k } X. D ) <-> E. k E. j ( <. y , x >. = <. k , j >. /\ ( k e. C /\ j e. D ) ) )
19		excom 2042	. . . . . . . . 9 |- ( E. k E. j ( <. y , x >. = <. k , j >. /\ ( k e. C /\ j e. D ) ) <-> E. j E. k ( <. y , x >. = <. k , j >. /\ ( k e. C /\ j e. D ) ) )
20	17, 18, 19	3bitri 286	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. `' U_ k e. C ( { k } X. D ) <-> E. j E. k ( <. y , x >. = <. k , j >. /\ ( k e. C /\ j e. D ) ) )
21	15, 16, 20	3bitr4g 303	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. C ( { k } X. D ) ) )
22	4, 5, 21	eqrelrdv 5216	. . . . . 6 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. B ) = `' U_ k e. C ( { k } X. D ) )
23		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x ( { j } X. B )
24		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ j { x }
25		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ j [_ x / j ]_ B
26	24, 25	nfxp 5142	. . . . . . 7 |- F/_ j ( { x } X. [_ x / j ]_ B )
27		sneq 4187	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> { j } = { x } )
28		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> B = [_ x / j ]_ B )
29	27, 28	xpeq12d 5140	. . . . . . 7 |- ( j = x -> ( { j } X. B ) = ( { x } X. [_ x / j ]_ B ) )
30	23, 26, 29	cbviun 4557	. . . . . 6 |- U_ j e. A ( { j } X. B ) = U_ x e. A ( { x } X. [_ x / j ]_ B )
31		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ y ( { k } X. D )
32		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k { y }
33		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ y / k ]_ D
34	32, 33	nfxp 5142	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( { y } X. [_ y / k ]_ D )
35		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( k = y -> { k } = { y } )
36		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( k = y -> D = [_ y / k ]_ D )
37	35, 36	xpeq12d 5140	. . . . . . . 8 |- ( k = y -> ( { k } X. D ) = ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
38	31, 34, 37	cbviun 4557	. . . . . . 7 |- U_ k e. C ( { k } X. D ) = U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D )
39	38	cnveqi 5297	. . . . . 6 |- `' U_ k e. C ( { k } X. D ) = `' U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D )
40	22, 30, 39	3eqtr3g 2679	. . . . 5 |- ( ph -> U_ x e. A ( { x } X. [_ x / j ]_ B ) = `' U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
41	40	prodeq1d 14651	. . . 4 |- ( ph -> prod_ z e. U_ x e. A ( { x } X. [_ x / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E = prod_ z e. `' U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E )
42	8, 7	op1std 7178	. . . . . . 7 |- ( w = <. y , x >. -> ( 1st ` w ) = y )
43	42	csbeq1d 3540	. . . . . 6 |- ( w = <. y , x >. -> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E )
44	8, 7	op2ndd 7179	. . . . . . . 8 |- ( w = <. y , x >. -> ( 2nd ` w ) = x )
45	44	csbeq1d 3540	. . . . . . 7 |- ( w = <. y , x >. -> [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E = [_ x / j ]_ E )
46	45	csbeq2dv 3992	. . . . . 6 |- ( w = <. y , x >. -> [_ y / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
47	43, 46	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( w = <. y , x >. -> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
48	7, 8	op2ndd 7179	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( 2nd ` z ) = y )
49	48	csbeq1d 3540	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E )
50	7, 8	op1std 7178	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( 1st ` z ) = x )
51	50	csbeq1d 3540	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E = [_ x / j ]_ E )
52	51	csbeq2dv 3992	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> [_ y / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
53	49, 52	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( z = <. x , y >. -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
54		fprodcom2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. Fin )
55		snfi 8038	. . . . . . . 8 |- { y } e. Fin
56		fprodcom2.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. Fin )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> A e. Fin )
58	33, 36	opeliunxp2f 7336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. y , x >. e. U_ k e. C ( { k } X. D ) <-> ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) )
59	17, 58	sylbbr 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) -> <. x , y >. e. `' U_ k e. C ( { k } X. D ) )
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> <. x , y >. e. `' U_ k e. C ( { k } X. D ) )
61	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) = `' U_ k e. C ( { k } X. D ) )
62	60, 61	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
63		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> E. j e. A <. x , y >. e. ( { j } X. B ) )
64	62, 63	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> E. j e. A <. x , y >. e. ( { j } X. B ) )
65		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. A /\ <. x , y >. e. ( { j } X. B ) ) -> <. x , y >. e. ( { j } X. B ) )
66		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. x , y >. e. ( { j } X. B ) <-> ( x e. { j } /\ y e. B ) )
67	65, 66	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. A /\ <. x , y >. e. ( { j } X. B ) ) -> ( x e. { j } /\ y e. B ) )
68	67	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. A /\ <. x , y >. e. ( { j } X. B ) ) -> x e. { j } )
69		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. { j } -> x = j )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. A /\ <. x , y >. e. ( { j } X. B ) ) -> x = j )
71		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. A /\ <. x , y >. e. ( { j } X. B ) ) -> j e. A )
72	70, 71	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. A /\ <. x , y >. e. ( { j } X. B ) ) -> x e. A )
73	72	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. j e. A <. x , y >. e. ( { j } X. B ) -> x e. A )
74	64, 73	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> x e. A )
75	74	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( x e. [_ y / k ]_ D -> x e. A ) )
76	75	ssrdv 3609	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> [_ y / k ]_ D C_ A )
77	57, 76	ssfid 8183	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> [_ y / k ]_ D e. Fin )
78		xpfi 8231	. . . . . . . 8 |- ( ( { y } e. Fin /\ [_ y / k ]_ D e. Fin ) -> ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) e. Fin )
79	55, 77, 78	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) e. Fin )
80	79	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) e. Fin )
81		iunfi 8254	. . . . . 6 |- ( ( C e. Fin /\ A. y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) e. Fin ) -> U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) e. Fin )
82	54, 80, 81	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) e. Fin )
83		reliun 5239	. . . . . . 7 |- ( Rel U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) <-> A. y e. C Rel ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
84		relxp 5227	. . . . . . . 8 |- Rel ( { y } X. [_ y / k ]_ D )
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( y e. C -> Rel ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
86	83, 85	mprgbir 2927	. . . . . 6 |- Rel U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D )
87	86	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> Rel U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
88		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
89		eliun 4524	. . . . . . . 8 |- ( w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) <-> E. y e. C w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
90	88, 89	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> E. y e. C w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
91		xp2nd 7199	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) -> ( 2nd ` w ) e. [_ y / k ]_ D )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 2nd ` w ) e. [_ y / k ]_ D )
93		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) -> ( 1st ` w ) e. { y } )
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 1st ` w ) e. { y } )
95		elsni 4194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` w ) e. { y } -> ( 1st ` w ) = y )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 1st ` w ) = y )
97	96	csbeq1d 3540	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D = [_ y / k ]_ D )
98	92, 97	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 2nd ` w ) e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D )
99	98	rexlimiva 3028	. . . . . . 7 |- ( E. y e. C w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) -> ( 2nd ` w ) e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D )
100	90, 99	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 2nd ` w ) e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D )
101		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> y e. C )
102	96, 101	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 1st ` w ) e. C )
103	102	rexlimiva 3028	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. C w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) -> ( 1st ` w ) e. C )
104	90, 103	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 1st ` w ) e. C )
105		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> ph )
106	25	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j y e. [_ x / j ]_ B
107	69	equcomd 1946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. { j } -> j = x )
108	107, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { j } -> B = [_ x / j ]_ B )
109	108	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. { j } -> ( y e. B <-> y e. [_ x / j ]_ B ) )
110	109	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. { j } /\ y e. B ) -> y e. [_ x / j ]_ B )
111	66, 110	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , y >. e. ( { j } X. B ) -> y e. [_ x / j ]_ B )
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. A -> ( <. x , y >. e. ( { j } X. B ) -> y e. [_ x / j ]_ B ) )
113	106, 112	rexlimi 3024	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. A <. x , y >. e. ( { j } X. B ) -> y e. [_ x / j ]_ B )
114	64, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> y e. [_ x / j ]_ B )
115		fprodcom2.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> E e. CC )
116	115	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. B E e. CC )
117		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ j [_ x / j ]_ E
118	117	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j [_ x / j ]_ E e. CC
119	25, 118	nfral 2945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j A. k e. [_ x / j ]_ B [_ x / j ]_ E e. CC
120		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = x -> E = [_ x / j ]_ E )
121	120	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = x -> ( E e. CC <-> [_ x / j ]_ E e. CC ) )
122	28, 121	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = x -> ( A. k e. B E e. CC <-> A. k e. [_ x / j ]_ B [_ x / j ]_ E e. CC ) )
123	119, 122	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> ( A. j e. A A. k e. B E e. CC -> A. k e. [_ x / j ]_ B [_ x / j ]_ E e. CC ) )
124	116, 123	mpan9 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. [_ x / j ]_ B [_ x / j ]_ E e. CC )
125		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E
126	125	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC
127		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = y -> [_ x / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
128	127	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = y -> ( [_ x / j ]_ E e. CC <-> [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC ) )
129	126, 128	rspc 3303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. [_ x / j ]_ B -> ( A. k e. [_ x / j ]_ B [_ x / j ]_ E e. CC -> [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC ) )
130	124, 129	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( y e. [_ x / j ]_ B -> [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC ) )
131	130	impr 649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. [_ x / j ]_ B ) ) -> [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC )
132	105, 74, 114, 131	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC )
133	132	ralrimivva 2971	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. C A. x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC )
134	133	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> A. y e. C A. x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC )
135		csbeq1 3536	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( 1st ` w ) -> [_ y / k ]_ D = [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D )
136		csbeq1 3536	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( 1st ` w ) -> [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E = [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E )
137	136	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( 1st ` w ) -> ( [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC <-> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC ) )
138	135, 137	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1st ` w ) -> ( A. x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC <-> A. x e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC ) )
139	138	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( ( 1st ` w ) e. C -> ( A. y e. C A. x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC -> A. x e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC ) )
140	104, 134, 139	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> A. x e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC )
141		csbeq1 3536	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 2nd ` w ) -> [_ x / j ]_ E = [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E )
142	141	csbeq2dv 3992	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 2nd ` w ) -> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E = [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E )
143	142	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = ( 2nd ` w ) -> ( [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC <-> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E e. CC ) )
144	143	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( ( 2nd ` w ) e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D -> ( A. x e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC -> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E e. CC ) )
145	100, 140, 144	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E e. CC )
146	47, 53, 82, 87, 145	fprodcnv 14713	. . . 4 |- ( ph -> prod_ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E = prod_ z e. `' U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E )
147	41, 146	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ph -> prod_ z e. U_ x e. A ( { x } X. [_ x / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E = prod_ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E )
148		fprodcom2.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
149	148	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. A B e. Fin )
150	25	nfel1 2779	. . . . . 6 |- F/ j [_ x / j ]_ B e. Fin
151	28	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( j = x -> ( B e. Fin <-> [_ x / j ]_ B e. Fin ) )
152	150, 151	rspc 3303	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( A. j e. A B e. Fin -> [_ x / j ]_ B e. Fin ) )
153	149, 152	mpan9 486	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> [_ x / j ]_ B e. Fin )
154	53, 56, 153, 131	fprod2d 14711	. . 3 |- ( ph -> prod_ x e. A prod_ y e. [_ x / j ]_ B [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E = prod_ z e. U_ x e. A ( { x } X. [_ x / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E )
155	47, 54, 77, 132	fprod2d 14711	. . 3 |- ( ph -> prod_ y e. C prod_ x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E = prod_ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E )
156	147, 154, 155	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> prod_ x e. A prod_ y e. [_ x / j ]_ B [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E = prod_ y e. C prod_ x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
157		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ x prod_ k e. B E
158		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ j y
159	158, 117	nfcsb 3551	. . . 4 |- F/_ j [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E
160	25, 159	nfcprod 14641	. . 3 |- F/_ j prod_ y e. [_ x / j ]_ B [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E
161		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y E
162		nfcsb1v 3549	. . . . 5 |- F/_ k [_ y / k ]_ E
163		csbeq1a 3542	. . . . 5 |- ( k = y -> E = [_ y / k ]_ E )
164	161, 162, 163	cbvprodi 14647	. . . 4 |- prod_ k e. B E = prod_ y e. B [_ y / k ]_ E
165	120	csbeq2dv 3992	. . . . . 6 |- ( j = x -> [_ y / k ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
166	165	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( j = x /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
167	28, 166	prodeq12dv 14656	. . . 4 |- ( j = x -> prod_ y e. B [_ y / k ]_ E = prod_ y e. [_ x / j ]_ B [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
168	164, 167	syl5eq 2668	. . 3 |- ( j = x -> prod_ k e. B E = prod_ y e. [_ x / j ]_ B [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
169	157, 160, 168	cbvprodi 14647	. 2 |- prod_ j e. A prod_ k e. B E = prod_ x e. A prod_ y e. [_ x / j ]_ B [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E
170		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ y prod_ j e. D E
171	33, 125	nfcprod 14641	. . 3 |- F/_ k prod_ x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E
172		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x E
173	172, 117, 120	cbvprodi 14647	. . . 4 |- prod_ j e. D E = prod_ x e. D [_ x / j ]_ E
174	127	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( k = y /\ x e. D ) -> [_ x / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
175	36, 174	prodeq12dv 14656	. . . 4 |- ( k = y -> prod_ x e. D [_ x / j ]_ E = prod_ x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
176	173, 175	syl5eq 2668	. . 3 |- ( k = y -> prod_ j e. D E = prod_ x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
177	170, 171, 176	cbvprodi 14647	. 2 |- prod_ k e. C prod_ j e. D E = prod_ y e. C prod_ x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E
178	156, 169, 177	3eqtr4g 2681	1 |- ( ph -> prod_ j e. A prod_ k e. B E = prod_ k e. C prod_ j e. D E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   Rel wrel 5119   ` cfv 5888   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Fincfn 7955   CCcc 9934   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  fprodcom  14716  fprod0diag  14717