Theorem fprodefsum 14825

Description: Move the exponential function from inside a finite product to outside a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 26-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodefsum.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fprodefsum.2	|- ( ph -> N e. Z )
fprodefsum.3	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodefsum	|- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) ( exp ` A ) = ( exp ` sum_ k e. ( M ... N ) A ) )

Distinct variable groups:   ph, k   k, M   k, N   k, Z

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem fprodefsum

Dummy variables a m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodefsum.2	. . . 4 |- ( ph -> N e. Z )
2		fprodefsum.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	syl6eleq 2711	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = M -> ( M ... a ) = ( M ... M ) )
5	4	prodeq1d 14651	. . . . . 6 |- ( a = M -> prod_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = prod_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) )
6	4	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( a = M -> sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = sum_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( a = M -> ( exp ` sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( a = M -> ( prod_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) <-> prod_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) )
9	8	imbi2d 330	. . . 4 |- ( a = M -> ( ( ph -> prod_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) <-> ( ph -> prod_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) ) )
10		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = n -> ( M ... a ) = ( M ... n ) )
11	10	prodeq1d 14651	. . . . . 6 |- ( a = n -> prod_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) )
12	10	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( a = n -> sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) )
13	12	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( a = n -> ( exp ` sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) )
14	11, 13	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( a = n -> ( prod_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) <-> prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) )
15	14	imbi2d 330	. . . 4 |- ( a = n -> ( ( ph -> prod_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) <-> ( ph -> prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) ) )
16		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( M ... a ) = ( M ... ( n + 1 ) ) )
17	16	prodeq1d 14651	. . . . . 6 |- ( a = ( n + 1 ) -> prod_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = prod_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) )
18	16	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( a = ( n + 1 ) -> sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) )
19	18	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( exp ` sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) )
20	17, 19	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( prod_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) <-> prod_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) )
21	20	imbi2d 330	. . . 4 |- ( a = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> prod_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) <-> ( ph -> prod_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) ) )
22		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = N -> ( M ... a ) = ( M ... N ) )
23	22	prodeq1d 14651	. . . . . 6 |- ( a = N -> prod_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = prod_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) )
24	22	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( a = N -> sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = sum_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) )
25	24	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( a = N -> ( exp ` sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) )
26	23, 25	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( a = N -> ( prod_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) <-> prod_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) )
27	26	imbi2d 330	. . . 4 |- ( a = N -> ( ( ph -> prod_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... a ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) <-> ( ph -> prod_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) ) )
28		fzsn 12383	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( M ... M ) = { M } )
29	28	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( M ... M ) = { M } )
30	29	prodeq1d 14651	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = prod_ m e. { M } ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) )
31		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
32		uzid 11702	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
33	32, 2	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. Z )
34		fprodefsum.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> A e. CC )
35		efcl 14813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( exp ` A ) e. CC )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( exp ` A ) e. CC )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) = ( k e. Z |-> ( exp ` A ) )
38	36, 37	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) : Z --> CC )
39	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` M ) e. CC )
40	33, 39	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` M ) e. CC )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` M ) )
42	41	prodsn 14692	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` M ) e. CC ) -> prod_ m e. { M } ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` M ) )
43	31, 40, 42	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ m e. { M } ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` M ) )
44	33	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> M e. Z )
45		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( exp ` [_ M / k ]_ A ) e. _V
46		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k M
47		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k exp
48		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ M / k ]_ A
49	47, 48	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( exp ` [_ M / k ]_ A )
50		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> A = [_ M / k ]_ A )
51	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( exp ` A ) = ( exp ` [_ M / k ]_ A ) )
52	46, 49, 51, 37	fvmptf 6301	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. Z /\ ( exp ` [_ M / k ]_ A ) e. _V ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` M ) = ( exp ` [_ M / k ]_ A ) )
53	44, 45, 52	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` M ) = ( exp ` [_ M / k ]_ A ) )
54	30, 43, 53	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` [_ M / k ]_ A ) )
55	29	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> sum_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = sum_ m e. { M } ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. Z |-> A ) = ( k e. Z |-> A )
57	34, 56	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. Z |-> A ) : Z --> CC )
58	57	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ M e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` M ) e. CC )
59	33, 58	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` M ) e. CC )
60		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> A ) ` M ) )
61	60	sumsn 14475	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( k e. Z |-> A ) ` M ) e. CC ) -> sum_ m e. { M } ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> A ) ` M ) )
62	31, 59, 61	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> sum_ m e. { M } ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> A ) ` M ) )
63	34	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. Z A e. CC )
64	48	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ M / k ]_ A e. CC
65	50	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = M -> ( A e. CC <-> [_ M / k ]_ A e. CC ) )
66	64, 65	rspc 3303	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. Z -> ( A. k e. Z A e. CC -> [_ M / k ]_ A e. CC ) )
67	66	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. k e. Z A e. CC /\ M e. Z ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
68	63, 33, 67	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> [_ M / k ]_ A e. CC )
69	56	fvmpts 6285	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. Z /\ [_ M / k ]_ A e. CC ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` M ) = [_ M / k ]_ A )
70	44, 68, 69	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` M ) = [_ M / k ]_ A )
71	55, 62, 70	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> sum_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = [_ M / k ]_ A )
72	71	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( exp ` sum_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) = ( exp ` [_ M / k ]_ A ) )
73	54, 72	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) )
74	73	expcom 451	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> prod_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... M ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) )
75		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) -> prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) )
76	2	peano2uzs 11742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z -> ( n + 1 ) e. Z )
77		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. Z ) -> ( n + 1 ) e. Z )
78		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ ( n + 1 ) / k ]_ A
79	78	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC
80		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( n + 1 ) -> A = [_ ( n + 1 ) / k ]_ A )
81	80	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( A e. CC <-> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC ) )
82	79, 81	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n + 1 ) e. Z -> ( A. k e. Z A e. CC -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC ) )
83	63, 82	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. Z ) -> [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC )
84		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC -> ( exp ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) e. CC )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. Z ) -> ( exp ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) e. CC )
86		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k ( n + 1 )
87	47, 78	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k ( exp ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A )
88	80	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( exp ` A ) = ( exp ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
89	86, 87, 88, 37	fvmptf 6301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n + 1 ) e. Z /\ ( exp ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) e. CC ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( exp ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
90	77, 85, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( exp ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
91	56	fvmpts 6285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( n + 1 ) e. Z /\ [_ ( n + 1 ) / k ]_ A e. CC ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) = [_ ( n + 1 ) / k ]_ A )
92	77, 83, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) = [_ ( n + 1 ) / k ]_ A )
93	92	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. Z ) -> ( exp ` ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( exp ` [_ ( n + 1 ) / k ]_ A ) )
94	90, 93	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( exp ` ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) )
95	76, 94	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( exp ` ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) )
96	95	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` ( n + 1 ) ) = ( exp ` ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) )
97	75, 96	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) -> ( prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) x. ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) x. ( exp ` ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
98		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. Z )
99	98, 2	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
100		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( M ... ( n + 1 ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
101	100, 2	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( M ... ( n + 1 ) ) -> m e. Z )
102	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) e. CC )
103	101, 102	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) e. CC )
104	103	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) e. CC )
105		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` ( n + 1 ) ) )
106	99, 104, 105	fprodp1 14699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> prod_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) x. ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
107	106	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) -> prod_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) x. ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` ( n + 1 ) ) ) )
108	57	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) e. CC )
109	101, 108	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) e. CC )
110	109	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) e. CC )
111		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) )
112	99, 110, 111	fsump1 14487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = ( sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) + ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) )
113	112	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( exp ` sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) = ( exp ` ( sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) + ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
114		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( M ... n ) e. Fin )
115		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( M ... n ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
116	115, 2	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( M ... n ) -> m e. Z )
117	116, 108	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( M ... n ) ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) e. CC )
118	117	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( M ... n ) ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) e. CC )
119	114, 118	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) e. CC )
120	57	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) e. CC )
121	76, 120	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) e. CC )
122		efadd 14824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) e. CC /\ ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) + ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) x. ( exp ` ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
123	119, 121, 122	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( exp ` ( sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) + ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) x. ( exp ` ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
124	113, 123	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( exp ` sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) = ( ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) x. ( exp ` ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
125	124	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) -> ( exp ` sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) = ( ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) x. ( exp ` ( ( k e. Z |-> A ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
126	97, 107, 125	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) -> prod_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) )
127	126	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. Z -> ( prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) -> prod_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) ) )
128	127	com12 32	. . . . . 6 |- ( n e. Z -> ( ph -> ( prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) -> prod_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) ) )
129	128	a2d 29	. . . . 5 |- ( n e. Z -> ( ( ph -> prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) -> ( ph -> prod_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) ) )
130	2	eqcomi 2631	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) = Z
131	129, 130	eleq2s 2719	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> prod_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... n ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) -> ( ph -> prod_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... ( n + 1 ) ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) ) )
132	9, 15, 21, 27, 74, 131	uzind4 11746	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> prod_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) ) )
133	3, 132	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> prod_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( exp ` sum_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) )
134		fzssuz 12382	. . . . . . . 8 |- ( M ... N ) C_ ( ZZ>= ` M )
135	134, 2	sseqtr4i 3638	. . . . . . 7 |- ( M ... N ) C_ Z
136		resmpt 5449	. . . . . . 7 |- ( ( M ... N ) C_ Z -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) |` ( M ... N ) ) = ( k e. ( M ... N ) |-> ( exp ` A ) ) )
137	135, 136	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) |` ( M ... N ) ) = ( k e. ( M ... N ) |-> ( exp ` A ) )
138	137	fveq1i 6192	. . . . 5 |- ( ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) |` ( M ... N ) ) ` m ) = ( ( k e. ( M ... N ) |-> ( exp ` A ) ) ` m )
139		fvres 6207	. . . . 5 |- ( m e. ( M ... N ) -> ( ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) |` ( M ... N ) ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) )
140	138, 139	syl5reqr 2671	. . . 4 |- ( m e. ( M ... N ) -> ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = ( ( k e. ( M ... N ) |-> ( exp ` A ) ) ` m ) )
141	140	prodeq2i 14649	. . 3 |- prod_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = prod_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> ( exp ` A ) ) ` m )
142		prodfc 14675	. . 3 |- prod_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( exp ` A )
143	141, 142	eqtri 2644	. 2 |- prod_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> ( exp ` A ) ) ` m ) = prod_ k e. ( M ... N ) ( exp ` A )
144		resmpt 5449	. . . . . . . 8 |- ( ( M ... N ) C_ Z -> ( ( k e. Z |-> A ) |` ( M ... N ) ) = ( k e. ( M ... N ) |-> A ) )
145	135, 144	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( k e. Z |-> A ) |` ( M ... N ) ) = ( k e. ( M ... N ) |-> A )
146	145	fveq1i 6192	. . . . . 6 |- ( ( ( k e. Z |-> A ) |` ( M ... N ) ) ` m ) = ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` m )
147		fvres 6207	. . . . . 6 |- ( m e. ( M ... N ) -> ( ( ( k e. Z |-> A ) |` ( M ... N ) ) ` m ) = ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) )
148	146, 147	syl5reqr 2671	. . . . 5 |- ( m e. ( M ... N ) -> ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` m ) )
149	148	sumeq2i 14429	. . . 4 |- sum_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = sum_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` m )
150		sumfc 14440	. . . 4 |- sum_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> A ) ` m ) = sum_ k e. ( M ... N ) A
151	149, 150	eqtri 2644	. . 3 |- sum_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) = sum_ k e. ( M ... N ) A
152	151	fveq2i 6194	. 2 |- ( exp ` sum_ m e. ( M ... N ) ( ( k e. Z |-> A ) ` m ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( M ... N ) A )
153	133, 143, 152	3eqtr3g 2679	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( M ... N ) ( exp ` A ) = ( exp ` sum_ k e. ( M ... N ) A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   expce 14792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-ef 14798

This theorem is referenced by: (None)