Theorem prmgapprmo 15766

Description: Alternate proof of prmgap 15763: in contrast to prmgap 15763, where the gap starts at n! , the factorial of n, the gap starts at n#, the primorial of n. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prmgapprmo	|- A. n e. NN E. p e. Prime E. q e. Prime ( n <_ ( q - p ) /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ q ) z e/ Prime )

Distinct variable group:   n, p, q, z

Proof of Theorem prmgapprmo

Dummy variables i j k m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 |- ( n e. NN -> n e. NN )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) )
3		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( 1 ... j ) e. Fin )
4		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) = ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) )
5		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> ( m e. Prime <-> k e. Prime ) )
6		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = k -> m = k )
7	5, 6	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . 10 |- ( m = k -> if ( m e. Prime , m , 1 ) = if ( k e. Prime , k , 1 ) )
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. NN /\ k e. ( 1 ... j ) ) /\ m = k ) -> if ( m e. Prime , m , 1 ) = if ( k e. Prime , k , 1 ) )
9		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... j ) -> k e. NN )
10	9	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> k e. NN )
11		1nn 11031	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... j ) -> 1 e. NN )
13	9, 12	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... j ) -> if ( k e. Prime , k , 1 ) e. NN )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> if ( k e. Prime , k , 1 ) e. NN )
15	4, 8, 10, 14	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) = if ( k e. Prime , k , 1 ) )
16	15, 14	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) e. NN )
17	3, 16	fprodnncl 14685	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) e. NN )
18	2, 17	fmpti 6383	. . . . 5 |- ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) : NN --> NN
19		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
20	19, 19	elmap 7886	. . . . 5 |- ( ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) e. ( NN ^m NN ) <-> ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) : NN --> NN )
21	18, 20	mpbir 221	. . . 4 |- ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) e. ( NN ^m NN )
22	21	a1i 11	. . 3 |- ( n e. NN -> ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) e. ( NN ^m NN ) )
23		prmgapprmolem 15765	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) -> 1 < ( ( (#p ` n ) + i ) gcd i ) )
24		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) = ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) )
25	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( 1 ... j ) ) /\ m = k ) -> if ( m e. Prime , m , 1 ) = if ( k e. Prime , k , 1 ) )
26	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> k e. NN )
27		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... j ) -> k e. ZZ )
28		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... j ) -> 1 e. ZZ )
29	27, 28	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... j ) -> if ( k e. Prime , k , 1 ) e. ZZ )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> if ( k e. Prime , k , 1 ) e. ZZ )
31	24, 25, 26, 30	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) = if ( k e. Prime , k , 1 ) )
32	31	prodeq2dv 14653	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) /\ j e. NN ) -> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) = prod_ k e. ( 1 ... j ) if ( k e. Prime , k , 1 ) )
33	32	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) -> ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) if ( k e. Prime , k , 1 ) ) )
34		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = n -> ( 1 ... j ) = ( 1 ... n ) )
35	34	prodeq1d 14651	. . . . . . . . . 10 |- ( j = n -> prod_ k e. ( 1 ... j ) if ( k e. Prime , k , 1 ) = prod_ k e. ( 1 ... n ) if ( k e. Prime , k , 1 ) )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) /\ j = n ) -> prod_ k e. ( 1 ... j ) if ( k e. Prime , k , 1 ) = prod_ k e. ( 1 ... n ) if ( k e. Prime , k , 1 ) )
37		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) -> n e. NN )
38		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
39		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... n ) -> k e. NN )
40	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... n ) -> 1 e. NN )
41	39, 40	ifcld 4131	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... n ) -> if ( k e. Prime , k , 1 ) e. NN )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> if ( k e. Prime , k , 1 ) e. NN )
43	38, 42	fprodnncl 14685	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) -> prod_ k e. ( 1 ... n ) if ( k e. Prime , k , 1 ) e. NN )
44	33, 36, 37, 43	fvmptd 6288	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) -> ( ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) ` n ) = prod_ k e. ( 1 ... n ) if ( k e. Prime , k , 1 ) )
45		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
46		prmoval 15737	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> (#p ` n ) = prod_ k e. ( 1 ... n ) if ( k e. Prime , k , 1 ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> (#p ` n ) = prod_ k e. ( 1 ... n ) if ( k e. Prime , k , 1 ) )
48	47	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> prod_ k e. ( 1 ... n ) if ( k e. Prime , k , 1 ) = (#p ` n ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) -> prod_ k e. ( 1 ... n ) if ( k e. Prime , k , 1 ) = (#p ` n ) )
50	44, 49	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) -> ( ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) ` n ) = (#p ` n ) )
51	50	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) -> ( ( ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) ` n ) + i ) = ( (#p ` n ) + i ) )
52	51	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) -> ( ( ( ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) ` n ) + i ) gcd i ) = ( ( (#p ` n ) + i ) gcd i ) )
53	23, 52	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( n e. NN /\ i e. ( 2 ... n ) ) -> 1 < ( ( ( ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) ` n ) + i ) gcd i ) )
54	53	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( n e. NN -> A. i e. ( 2 ... n ) 1 < ( ( ( ( j e. NN |-> prod_ k e. ( 1 ... j ) ( ( m e. NN |-> if ( m e. Prime , m , 1 ) ) ` k ) ) ` n ) + i ) gcd i ) )
55	1, 22, 54	prmgaplem8 15762	. 2 |- ( n e. NN -> E. p e. Prime E. q e. Prime ( n <_ ( q - p ) /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ q ) z e/ Prime ) )
56	55	rgen 2922	1 |- A. n e. NN E. p e. Prime E. q e. Prime ( n <_ ( q - p ) /\ A. z e. ( ( p + 1 )..^ q ) z e/ Prime )

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   prod_cprod 14635   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385  #_pcprmo 15735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-prmo 15736

This theorem is referenced by: (None)