Theorem hoiprodp1 40802

Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension n + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodp1.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hoiprodp1.y	|- ( ph -> Y e. Fin )
hoiprodp1.3	|- ( ph -> Z e. V )
hoiprodp1.z	|- ( ph -> -. Z e. Y )
hoiprodp1.x	|- X = ( Y u. { Z } )
hoiprodp1.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
hoiprodp1.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
hoiprodp1.g	|- G = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hoiprodp1	|- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = ( G x. ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, a, b, k   B, a, b, k   X, a, b, k, x   k, Y   k, Z   ph, a, b, k, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   G( x, k, a, b)   L( x, k, a, b)   V( x, k, a, b)   Y( x, a, b)   Z( x, a, b)

Proof of Theorem hoiprodp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiprodp1.l	. . 3 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
2		hoiprodp1.x	. . . 4 |- X = ( Y u. { Z } )
3		hoiprodp1.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. Fin )
4		snfi 8038	. . . . . 6 |- { Z } e. Fin
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { Z } e. Fin )
6		unfi 8227	. . . . 5 |- ( ( Y e. Fin /\ { Z } e. Fin ) -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
7	3, 5, 6	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( Y u. { Z } ) e. Fin )
8	2, 7	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> X e. Fin )
9		hoiprodp1.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. V )
10		snidg 4206	. . . . . . 7 |- ( Z e. V -> Z e. { Z } )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. { Z } )
12		elun2 3781	. . . . . 6 |- ( Z e. { Z } -> Z e. ( Y u. { Z } ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. ( Y u. { Z } ) )
14	13, 2	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( ph -> Z e. X )
15		ne0i 3921	. . . 4 |- ( Z e. X -> X =/= (/) )
16	14, 15	syl 17	. . 3 |- ( ph -> X =/= (/) )
17		hoiprodp1.a	. . 3 |- ( ph -> A : X --> RR )
18		hoiprodp1.b	. . 3 |- ( ph -> B : X --> RR )
19	1, 8, 16, 17, 18	hoidmvn0val 40798	. 2 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
20	17	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
21	18	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
22		volicore 40795	. . . . 5 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
23	20, 21, 22	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
24	23	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. CC )
25		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = Z -> ( A ` k ) = ( A ` Z ) )
26		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = Z -> ( B ` k ) = ( B ` Z ) )
27	25, 26	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( k = Z -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) )
28	27	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( k = Z -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
29	28	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ k = Z ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) )
30	8, 24, 14, 29	fprodsplit1 39825	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
31	2	difeq1i 3724	. . . . . . . 8 |- ( X \ { Z } ) = ( ( Y u. { Z } ) \ { Z } )
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X \ { Z } ) = ( ( Y u. { Z } ) \ { Z } ) )
33		difun2 4048	. . . . . . . 8 |- ( ( Y u. { Z } ) \ { Z } ) = ( Y \ { Z } )
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y u. { Z } ) \ { Z } ) = ( Y \ { Z } ) )
35		hoiprodp1.z	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. Z e. Y )
36		difsn 4328	. . . . . . . 8 |- ( -. Z e. Y -> ( Y \ { Z } ) = Y )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y \ { Z } ) = Y )
38	32, 34, 37	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X \ { Z } ) = Y )
39	38	prodeq1d 14651	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
40		hoiprodp1.g	. . . . . . 7 |- G = prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
41	40	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = G
42	41	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = G )
43	39, 42	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = G )
44	43	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) = ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. G ) )
45	17, 14	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ` Z ) e. RR )
46	18, 14	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B ` Z ) e. RR )
47		volicore 40795	. . . . . 6 |- ( ( ( A ` Z ) e. RR /\ ( B ` Z ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. RR )
48	45, 46, 47	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. RR )
49	48	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) e. CC )
50	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> A : X --> RR )
51		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . 12 |- Y C_ ( Y u. { Z } )
52	51, 2	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . 11 |- Y C_ X
53		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. Y -> k e. Y )
54	52, 53	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. Y -> k e. X )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> k e. X )
56	50, 55	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( A ` k ) e. RR )
57	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> B : X --> RR )
58	57, 55	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( B ` k ) e. RR )
59	56, 58, 22	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Y ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
60	3, 59	fprodrecl 14683	. . . . . 6 |- ( ph -> prod_ k e. Y ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
61	40, 60	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> G e. RR )
62	61	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> G e. CC )
63	49, 62	mulcomd 10061	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. G ) = ( G x. ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) ) )
64	44, 63	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) x. prod_ k e. ( X \ { Z } ) ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) = ( G x. ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) ) )
65	19, 30, 64	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = ( G x. ( vol ` ( ( A ` Z ) [,) ( B ` Z ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   u. cun 3572   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  40810  hoidmvlelem4  40812