Theorem dvmptfprodlem 40159

Description: Induction step for dvmptfprod 40160. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfprodlem.xph	|- F/ x ph
dvmptfprodlem.iph	|- F/ i ph
dvmptfprodlem.jph	|- F/ j ph
dvmptfprodlem.if	|- F/_ i F
dvmptfprodlem.jg	|- F/_ j G
dvmptfprodlem.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfprodlem.d	|- ( ph -> D e. Fin )
dvmptfprodlem.e	|- ( ph -> E e. _V )
dvmptfprodlem.db	|- ( ph -> -. E e. D )
dvmptfprodlem.ss	|- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I )
dvmptfprodlem.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfprodlem.c	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC )
dvmptfprodlem.dvp	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) )
dvmptfprodlem.14	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC )
dvmptfprodlem.dvf	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) )
dvmptfprodlem.f	|- ( i = E -> A = F )
dvmptfprodlem.cg	|- ( j = E -> C = G )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfprodlem	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   D, i, j, x   i, E, j, x   j, F   i, I   i, X, j, x

Allowed substitution hints:   ph( x, i, j)   A( x, i)   C( x, i, j)   S( x, i, j)   F( x, i)   G( x, i, j)   I( x, j)

Proof of Theorem dvmptfprodlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptfprodlem.xph	. . . 4 |- F/ x ph
2		dvmptfprodlem.iph	. . . . . . 7 |- F/ i ph
3		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ i x
4		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ i X
5	3, 4	nfel 2777	. . . . . . 7 |- F/ i x e. X
6	2, 5	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ i ( ph /\ x e. X )
7		dvmptfprodlem.if	. . . . . . 7 |- F/_ i F
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> F/_ i F )
9		dvmptfprodlem.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. Fin )
10		snfi 8038	. . . . . . . . 9 |- { E } e. Fin
11	10	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { E } e. Fin )
12		unfi 8227	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. Fin /\ { E } e. Fin ) -> ( D u. { E } ) e. Fin )
13	9, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D u. { E } ) e. Fin )
14	13	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D u. { E } ) e. Fin )
15		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> ph )
16		dvmptfprodlem.ss	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I )
17	16	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I )
18	17	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I )
19		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> x e. X )
20		dvmptfprodlem.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
21	15, 18, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> A e. CC )
22		dvmptfprodlem.e	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E e. _V )
23		snidg 4206	. . . . . . . . 9 |- ( E e. _V -> E e. { E } )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. { E } )
25		elun2 3781	. . . . . . . 8 |- ( E e. { E } -> E e. ( D u. { E } ) )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. ( D u. { E } ) )
27	26	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. ( D u. { E } ) )
28		dvmptfprodlem.f	. . . . . . 7 |- ( i = E -> A = F )
29	28	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F )
30	6, 8, 14, 21, 27, 29	fprodsplit1f 14721	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) )
31		difundir 3880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) )
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) )
33		dvmptfprodlem.db	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. E e. D )
34		difsn 4328	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E e. D -> ( D \ { E } ) = D )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D \ { E } ) = D )
36		difid 3948	. . . . . . . . . . 11 |- ( { E } \ { E } ) = (/)
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { E } \ { E } ) = (/) )
38	35, 37	uneq12d 3768	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) = ( D u. (/) ) )
39		un0 3967	. . . . . . . . . 10 |- ( D u. (/) ) = D
40	39	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D u. (/) ) = D )
41	32, 38, 40	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = D )
42	41	prodeq1d 14651	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A = prod_ i e. D A )
43	42	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) )
44	43	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) )
45	30, 44	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. D A ) )
46	1, 45	mpteq2da 4743	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) = ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) )
47	46	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) )
48		dvmptfprodlem.s	. . 3 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
49	16, 26	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> E e. I )
50	49	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. I )
51		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ph )
52		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
53	51, 50, 52	3jca 1242	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) )
54		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ i E
55		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ i E e. I
56	2, 55, 5	nf3an 1831	. . . . . 6 |- F/ i ( ph /\ E e. I /\ x e. X )
57		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ i CC
58	7, 57	nfel 2777	. . . . . 6 |- F/ i F e. CC
59	56, 58	nfim 1825	. . . . 5 |- F/ i ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC )
60		ancom 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) <-> ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) )
61	60	imbi1i 339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) )
62		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = F <-> F = A )
63	62	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) )
64	61, 63	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) )
65	29, 64	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A )
66	65	3adantr2 1221	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A )
67	66	3adant2 1080	. . . . . . . 8 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A )
68		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) )
69		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = E -> ( i e. I <-> E e. I ) )
70	69	3anbi2d 1404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = E -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) )
71	70	imbi1d 331	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) )
72	71	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) )
73	72	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) )
74	68, 73	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
75	67, 74	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F e. CC )
76	75	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) )
77	20	2a1i 12	. . . . . 6 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) )
78	76, 77	impbid 202	. . . . 5 |- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) )
79	54, 59, 78, 20	vtoclgf 3264	. . . 4 |- ( E e. I -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) )
80	50, 53, 79	sylc 65	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> F e. CC )
81		dvmptfprodlem.14	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC )
82		dvmptfprodlem.dvf	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) )
83	51, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. Fin )
84	51	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> ph )
85	16	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> ( D u. { E } ) C_ I )
86		elun1 3780	. . . . . . . 8 |- ( i e. D -> i e. ( D u. { E } ) )
87	86	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. ( D u. { E } ) )
88	85, 87	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. I )
89	88	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> i e. I )
90	52	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> x e. X )
91	84, 89, 90, 20	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> A e. CC )
92	6, 83, 91	fprodclf 14723	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. D A e. CC )
93		dvmptfprodlem.jph	. . . . 5 |- F/ j ph
94		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ j x e. X
95	93, 94	nfan 1828	. . . 4 |- F/ j ( ph /\ x e. X )
96		dvmptfprodlem.c	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC )
97		diffi 8192	. . . . . . . . 9 |- ( D e. Fin -> ( D \ { j } ) e. Fin )
98	9, 97	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D \ { j } ) e. Fin )
99	98	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D \ { j } ) e. Fin )
100		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( D \ { j } ) -> i e. D )
101	100	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> i e. D )
102	101, 91	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC )
103	6, 99, 102	fprodclf 14723	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC )
104	103	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC )
105	96, 104	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC )
106	95, 83, 105	fsumclf 39801	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC )
107		dvmptfprodlem.dvp	. . 3 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) )
108	1, 48, 80, 81, 82, 92, 106, 107	dvmptmulf 40152	. 2 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) )
109		dvmptfprodlem.jg	. . . . . 6 |- F/_ j G
110		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ j x.
111		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ j prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A
112	109, 110, 111	nfov 6676	. . . . 5 |- F/_ j ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A )
113	51, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. _V )
114	51, 33	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> -. E e. D )
115		diffi 8192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D u. { E } ) e. Fin -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
116	13, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
117	116	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
118		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) -> i e. ( D u. { E } ) )
119	118	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) )
120	119, 21	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> A e. CC )
121	6, 117, 120	fprodclf 14723	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC )
122	121	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC )
123	96, 122	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC )
124		dvmptfprodlem.cg	. . . . . 6 |- ( j = E -> C = G )
125		sneq 4187	. . . . . . . 8 |- ( j = E -> { j } = { E } )
126	125	difeq2d 3728	. . . . . . 7 |- ( j = E -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D u. { E } ) \ { E } ) )
127	126	prodeq1d 14651	. . . . . 6 |- ( j = E -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A )
128	124, 127	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( j = E -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) )
129	41, 9	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin )
130	129	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin )
131	51	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ph )
132	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ( D u. { E } ) C_ I )
133		eldifi 3732	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) -> i e. ( D u. { E } ) )
134	133	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) )
135	132, 134	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I )
136	135	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I )
137	52	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> x e. X )
138	131, 136, 137, 20	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> A e. CC )
139	6, 130, 138	fprodclf 14723	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A e. CC )
140	81, 139	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) e. CC )
141	95, 112, 83, 113, 114, 123, 128, 140	fsumsplitsn 14474	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) )
142		difundir 3880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) )
144		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ x j e. D
145	1, 144	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x ( ph /\ j e. D )
146		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x e. { E } -> x = E )
147	146	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. { E } -> E = x )
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = x )
149		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> x = j )
150		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> j = j )
151	148, 149, 150	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = j )
152	151	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E = j )
153		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> j e. D )
154	152, 153	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E e. D )
155	33	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> -. E e. D )
156	154, 155	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x = j )
157		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. { j } <-> x = j )
158	156, 157	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x e. { j } )
159	158	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( x e. { E } -> -. x e. { j } ) )
160	145, 159	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> A. x e. { E } -. x e. { j } )
161		disj 4017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) <-> A. x e. { E } -. x e. { j } )
162	160, 161	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } i^i { j } ) = (/) )
163		disjdif2 4047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) -> ( { E } \ { j } ) = { E } )
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } \ { j } ) = { E } )
165	164	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) )
166	143, 165	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) )
167	166	prodeq1d 14651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A )
168	167	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A )
169		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ i j e. D
170	6, 169	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ i ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D )
171	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( D \ { j } ) e. Fin )
172	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ph )
173	172, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> E e. _V )
174		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. E e. D -> -. E e. D )
175	174	intnanrd 963	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
177		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E e. ( D \ { j } ) <-> ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
178	176, 177	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. E e. D -> -. E e. ( D \ { j } ) )
179	33, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -. E e. ( D \ { j } ) )
180	172, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> -. E e. ( D \ { j } ) )
181	102	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC )
182	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> F e. CC )
183	170, 7, 171, 173, 180, 181, 28, 182	fprodsplitsn 14720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
184		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
185	168, 183, 184	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
186	185	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) )
187	96, 104, 182	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) )
188	187	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
189	186, 188	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
190	189	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( j e. D -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) )
191	95, 190	ralrimi 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
192	191	sumeq2d 14432	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
193	95, 83, 80, 105	fsummulc1f 39802	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
194	193	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
195		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
196	192, 194, 195	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
197	106, 80	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) e. CC )
198	196, 197	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC )
199	198, 140	addcomd 10238	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )
200	42	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) )
201	200	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) )
202	201, 196	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) )
203	141, 199, 202	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) = sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) )
204	1, 203	mpteq2da 4743	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )
205	47, 108, 204	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   |-> cmpt 4729  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   x. cmul 9941   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvmptfprod  40160