Theorem dvmptfprod 40160

Description: Function-builder for derivative, finite product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvmptfprod.iph	|- F/ i ph
dvmptfprod.jph	|- F/ j ph
dvmptfprod.j	|- J = ( K ↾t S )
dvmptfprod.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
dvmptfprod.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvmptfprod.x	|- ( ph -> X e. J )
dvmptfprod.i	|- ( ph -> I e. Fin )
dvmptfprod.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
dvmptfprod.b	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
dvmptfprod.d	|- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
dvmptfprod.bc	|- ( i = j -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
dvmptfprod	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) )

Distinct variable groups:   A, j   C, i   i, I, j, x   S, i, j, x   i, X, j, x   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( i, j)   A( x, i)   B( x, i, j)   C( x, j)   J( x, i, j)   K( x, i, j)

Proof of Theorem dvmptfprod

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptfprod.i	. 2 |- ( ph -> I e. Fin )
2		ssid 3624	. . 3 |- I C_ I
3	2	jctr 565	. 2 |- ( ph -> ( ph /\ I C_ I ) )
4		sseq1 3626	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( a C_ I <-> (/) C_ I ) )
5	4	anbi2d 740	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( ph /\ a C_ I ) <-> ( ph /\ (/) C_ I ) ) )
6		prodeq1 14639	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> prod_ i e. a A = prod_ i e. (/) A )
7	6	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) = ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) )
8	7	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) )
9		sumeq1 14419	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) )
10		difeq1 3721	. . . . . . . . . 10 |- ( a = (/) -> ( a \ { j } ) = ( (/) \ { j } ) )
11	10	prodeq1d 14651	. . . . . . . . 9 |- ( a = (/) -> prod_ i e. ( a \ { j } ) A = prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A )
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) )
13	12	sumeq2sdv 14435	. . . . . . 7 |- ( a = (/) -> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) )
14	9, 13	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( a = (/) -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) )
15	14	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( a = (/) -> ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) )
16	8, 15	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( a = (/) -> ( ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) <-> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) ) )
17	5, 16	imbi12d 334	. . 3 |- ( a = (/) -> ( ( ( ph /\ a C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) ) <-> ( ( ph /\ (/) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) ) ) )
18		sseq1 3626	. . . . 5 |- ( a = b -> ( a C_ I <-> b C_ I ) )
19	18	anbi2d 740	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ph /\ a C_ I ) <-> ( ph /\ b C_ I ) ) )
20		prodeq1 14639	. . . . . . 7 |- ( a = b -> prod_ i e. a A = prod_ i e. b A )
21	20	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) = ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) )
22	21	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( a = b -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) )
23		sumeq1 14419	. . . . . . 7 |- ( a = b -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) )
24		difeq1 3721	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( a \ { j } ) = ( b \ { j } ) )
25	24	prodeq1d 14651	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> prod_ i e. ( a \ { j } ) A = prod_ i e. ( b \ { j } ) A )
26	25	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
27	26	sumeq2sdv 14435	. . . . . . 7 |- ( a = b -> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
28	23, 27	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( a = b -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
29	28	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( a = b -> ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
30	22, 29	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) <-> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) )
31	19, 30	imbi12d 334	. . 3 |- ( a = b -> ( ( ( ph /\ a C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) ) <-> ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) ) )
32		sseq1 3626	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a C_ I <-> ( b u. { c } ) C_ I ) )
33	32	anbi2d 740	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ph /\ a C_ I ) <-> ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) )
34		prodeq1 14639	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> prod_ i e. a A = prod_ i e. ( b u. { c } ) A )
35	34	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) = ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) )
37		sumeq1 14419	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) )
38		difeq1 3721	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( a \ { j } ) = ( ( b u. { c } ) \ { j } ) )
39	38	prodeq1d 14651	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b u. { c } ) -> prod_ i e. ( a \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A )
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) )
41	40	sumeq2sdv 14435	. . . . . . 7 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) )
42	37, 41	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( a = ( b u. { c } ) -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) )
43	42	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) )
44	36, 43	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) <-> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) ) )
45	33, 44	imbi12d 334	. . 3 |- ( a = ( b u. { c } ) -> ( ( ( ph /\ a C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) ) ) )
46		sseq1 3626	. . . . 5 |- ( a = I -> ( a C_ I <-> I C_ I ) )
47	46	anbi2d 740	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( ph /\ a C_ I ) <-> ( ph /\ I C_ I ) ) )
48		prodeq1 14639	. . . . . . 7 |- ( a = I -> prod_ i e. a A = prod_ i e. I A )
49	48	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( a = I -> ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) = ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) )
50	49	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( a = I -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) )
51		sumeq1 14419	. . . . . . 7 |- ( a = I -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) )
52		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = I -> ( a \ { j } ) = ( I \ { j } ) )
53	52	prodeq1d 14651	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = I -> prod_ i e. ( a \ { j } ) A = prod_ i e. ( I \ { j } ) A )
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = I -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) )
55	54	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( a = I -> ( j e. I -> ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) )
56	55	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 |- ( a = I -> A. j e. I ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) )
57	56	sumeq2d 14432	. . . . . . 7 |- ( a = I -> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) )
58	51, 57	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( a = I -> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) = sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) )
59	58	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( a = I -> ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) )
60	50, 59	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( a = I -> ( ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) <-> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) ) )
61	47, 60	imbi12d 334	. . 3 |- ( a = I -> ( ( ( ph /\ a C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. a A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. a ( C x. prod_ i e. ( a \ { j } ) A ) ) ) <-> ( ( ph /\ I C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) ) ) )
62		prod0 14673	. . . . . . . 8 |- prod_ i e. (/) A = 1
63	62	mpteq2i 4741	. . . . . . 7 |- ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) = ( x e. X |-> 1 )
64	63	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 1 ) )
65	64	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> 1 ) ) )
66		dvmptfprod.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
67		dvmptfprod.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. J )
68		dvmptfprod.j	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t S )
69		dvmptfprod.k	. . . . . . . . 9 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
70	69	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( K ↾t S ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
71	68, 70	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- J = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
72	67, 71	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) )
73		1cnd 10056	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
74	66, 72, 73	dvmptconst 40129	. . . . 5 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> 1 ) ) = ( x e. X |-> 0 ) )
75		sum0 14452	. . . . . . . 8 |- sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) = 0
76	75	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- 0 = sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A )
77	76	mpteq2i 4741	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> 0 ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) )
78	77	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) )
79	65, 74, 78	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) )
80	79	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ (/) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. (/) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. (/) ( C x. prod_ i e. ( (/) \ { j } ) A ) ) )
81		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) )
82		simp1r 1086	. . . . 5 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> -. c e. b )
83		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ph )
84		ssun1 3776	. . . . . . . . . . 11 |- b C_ ( b u. { c } )
85		sstr2 3610	. . . . . . . . . . 11 |- ( b C_ ( b u. { c } ) -> ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I ) )
86	84, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> b C_ I )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> b C_ I )
88	83, 87	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( ph /\ b C_ I ) )
89	88	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( ph /\ b C_ I ) )
90		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) )
91	89, 90	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
92	91	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
93		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b )
94		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x S
95		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x _D
96		nfmpt1 4747	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( x e. X |-> prod_ i e. b A )
97	94, 95, 96	nfov 6676	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) )
98		nfmpt1 4747	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
99	97, 98	nfeq 2776	. . . . . . 7 |- F/ x ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
100	93, 99	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ x ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
101		dvmptfprod.iph	. . . . . . . . 9 |- F/ i ph
102		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( b u. { c } ) C_ I
103	101, 102	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I )
104		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ i -. c e. b
105	103, 104	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ i ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b )
106		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ i S
107		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ i _D
108		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i X
109		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i b
110	109	nfcprod1 14640	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i prod_ i e. b A
111	108, 110	nfmpt 4746	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( x e. X |-> prod_ i e. b A )
112	106, 107, 111	nfov 6676	. . . . . . . 8 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) )
113		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i C
114		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i x.
115		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( b \ { j } )
116	115	nfcprod1 14640	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i prod_ i e. ( b \ { j } ) A
117	113, 114, 116	nfov 6676	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A )
118	109, 117	nfsum 14421	. . . . . . . . 9 |- F/_ i sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A )
119	108, 118	nfmpt 4746	. . . . . . . 8 |- F/_ i ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
120	112, 119	nfeq 2776	. . . . . . 7 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
121	105, 120	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ i ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
122		dvmptfprod.jph	. . . . . . . . 9 |- F/ j ph
123		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( b u. { c } ) C_ I
124	122, 123	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I )
125		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ j -. c e. b
126	124, 125	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ j ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b )
127		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) )
128		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ j X
129		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j b
130	129	nfsum1 14420	. . . . . . . . 9 |- F/_ j sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A )
131	128, 130	nfmpt 4746	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
132	127, 131	nfeq 2776	. . . . . . 7 |- F/ j ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) )
133	126, 132	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ j ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
134		nfcsb1v 3549	. . . . . 6 |- F/_ i [_ c / i ]_ A
135		nfcsb1v 3549	. . . . . 6 |- F/_ j [_ c / j ]_ C
136	83	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ph )
137	136	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ i e. I /\ x e. X ) -> ph )
138		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ i e. I /\ x e. X ) -> i e. I )
139		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ i e. I /\ x e. X ) -> x e. X )
140		dvmptfprod.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
141	137, 138, 139, 140	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
142	136, 1	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> I e. Fin )
143	87	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> b C_ I )
144		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( I e. Fin /\ b C_ I ) -> b e. Fin )
145	142, 143, 144	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> b e. Fin )
146		vex 3203	. . . . . . 7 |- c e. _V
147	146	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> c e. _V )
148		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> -. c e. b )
149		simpllr 799	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( b u. { c } ) C_ I )
150	66	ad3antrrr 766	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
151	136	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> ph )
152	143	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> b C_ I )
153		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> j e. b )
154	152, 153	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> j e. I )
155		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> x e. X )
156		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ i j e. I
157		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ i x e. X
158	101, 156, 157	nf3an 1831	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ph /\ j e. I /\ x e. X )
159		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ i C e. CC
160	158, 159	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) -> C e. CC )
161		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( i e. I <-> j e. I ) )
162	161	3anbi2d 1404	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) ) )
163		dvmptfprod.bc	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> B = C )
164	163	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( B e. CC <-> C e. CC ) )
165	162, 164	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC ) <-> ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) -> C e. CC ) ) )
166		dvmptfprod.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> B e. CC )
167	160, 165, 166	chvar 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) -> C e. CC )
168	151, 154, 155, 167	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) /\ j e. b ) -> C e. CC )
169		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) )
170	83	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ x e. X ) -> ph )
171		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> ( b u. { c } ) C_ I )
172	146	snid 4208	. . . . . . . . . . . . 13 |- c e. { c }
173		elun2 3781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. { c } -> c e. ( b u. { c } ) )
174	172, 173	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- c e. ( b u. { c } )
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. ( b u. { c } ) )
176	171, 175	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b u. { c } ) C_ I -> c e. I )
177	176	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ x e. X ) -> c e. I )
178		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ x e. X ) -> x e. X )
179		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j c e. I
180		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j x e. X
181	122, 179, 180	nf3an 1831	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j ( ph /\ c e. I /\ x e. X )
182		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j CC
183	135, 182	nfel 2777	. . . . . . . . . . 11 |- F/ j [_ c / j ]_ C e. CC
184	181, 183	nfim 1825	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( ( ph /\ c e. I /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
185		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = c -> ( j e. I <-> c e. I ) )
186	185	3anbi2d 1404	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = c -> ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ c e. I /\ x e. X ) ) )
187		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = c -> C = [_ c / j ]_ C )
188	187	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = c -> ( C e. CC <-> [_ c / j ]_ C e. CC ) )
189	186, 188	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( j = c -> ( ( ( ph /\ j e. I /\ x e. X ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ c e. I /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC ) ) )
190	184, 189, 167	chvar 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. I /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
191	170, 177, 178, 190	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
192	191	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
193	192	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ x e. X ) -> [_ c / j ]_ C e. CC )
194	122, 179	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( ph /\ c e. I )
195		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
196	128, 135	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ j ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C )
197	195, 196	nfeq 2776	. . . . . . . . . 10 |- F/ j ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C )
198	194, 197	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ j ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
199	185	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( j = c -> ( ( ph /\ j e. I ) <-> ( ph /\ c e. I ) ) )
200		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = c -> [_ j / i ]_ A = [_ c / j ]_ [_ j / i ]_ A )
201		csbco 3543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ c / j ]_ [_ j / i ]_ A = [_ c / i ]_ A
202	201	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = c -> [_ c / j ]_ [_ j / i ]_ A = [_ c / i ]_ A )
203	200, 202	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = c -> [_ j / i ]_ A = [_ c / i ]_ A )
204	203	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = c -> ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) = ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) )
205	204	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = c -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) )
206	187	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = c -> ( x e. X |-> C ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
207	205, 206	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( j = c -> ( ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) ) )
208	199, 207	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( j = c -> ( ( ( ph /\ j e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) ) <-> ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) ) ) )
209	101, 156	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ph /\ j e. I )
210		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i [_ j / i ]_ A
211	108, 210	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A )
212	106, 107, 211	nfov 6676	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) )
213		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( x e. X |-> C )
214	212, 213	nfeq 2776	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C )
215	209, 214	nfim 1825	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ( ph /\ j e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
216	161	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. I ) <-> ( ph /\ j e. I ) ) )
217		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = j -> A = [_ j / i ]_ A )
218	217	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) )
219	218	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) )
220	163	idi 2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = j -> B = C )
221	220	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> C ) )
222	219, 221	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) <-> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) ) )
223	216, 222	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) ) <-> ( ( ph /\ j e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) ) ) )
224		dvmptfprod.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> B ) )
225	215, 223, 224	chvar 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ j / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
226	198, 208, 225	chvar 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
227	176, 226	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
228	227	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> [_ c / i ]_ A ) ) = ( x e. X |-> [_ c / j ]_ C ) )
229		csbeq1a 3542	. . . . . 6 |- ( i = c -> A = [_ c / i ]_ A )
230	100, 121, 133, 134, 135, 141, 145, 147, 148, 149, 150, 168, 169, 193, 228, 229, 187	dvmptfprodlem 40159	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) /\ -. c e. b ) /\ ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) )
231	81, 82, 92, 230	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) /\ ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) /\ ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) )
232	231	3exp 1264	. . 3 |- ( ( b e. Fin /\ -. c e. b ) -> ( ( ( ph /\ b C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. b A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. b ( C x. prod_ i e. ( b \ { j } ) A ) ) ) -> ( ( ph /\ ( b u. { c } ) C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( b u. { c } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( b u. { c } ) ( C x. prod_ i e. ( ( b u. { c } ) \ { j } ) A ) ) ) ) )
233	17, 31, 45, 61, 80, 232	findcard2s 8201	. 2 |- ( I e. Fin -> ( ( ph /\ I C_ I ) -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) ) )
234	1, 3, 233	sylc 65	1 |- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. I A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. I ( C x. prod_ i e. ( I \ { j } ) A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

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