Theorem prodss 14677

Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodss.1	|- ( ph -> A C_ B )
prodss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
prodss.3	|- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
prodss.4	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
prodss.5	|- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
prodss	|- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k, n, y   B, k, n, y   C, n, y   k, n, ph, y   n, M, y   ph, n, y   k, M

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem prodss

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
3		prodss.3	. . . . . 6 |- ( ph -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
4	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> E. n e. ( ZZ>= ` M ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ~~> y ) )
5		prodss.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ B )
6		prodss.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
7	5, 6	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
8	7	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
9		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
10		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
12		prodss.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
13	12	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
15		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
16		prodss.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
17		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
18	16, 17	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
19	15, 18	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
20	19	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
21	14, 20	pm2.61d 170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
22	21	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. k e. B C e. CC )
23		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ m / k ]_ C
24	23	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ m / k ]_ C e. CC
25		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> C = [_ m / k ]_ C )
26	25	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( C e. CC <-> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
27	24, 26	rspc 3303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. B -> ( A. k e. B C e. CC -> [_ m / k ]_ C e. CC ) )
28	22, 27	mpan9 486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
29	11, 28	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
30		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = 1 )
31	30, 17	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
33	29, 32	pm2.61dan 832	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC )
36		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k m
37		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k m e. B
38		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 1
39	37, 23, 38	nfif 4115	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 )
40		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( k e. B <-> m e. B ) )
41	40, 25	ifbieq1d 4109	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> if ( k e. B , C , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
42		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) )
43	36, 39, 41, 42	fvmptf 6301	. . . . . . 7 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) /\ if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
44	9, 35, 43	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
45		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
47		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. A ) -> m e. A )
48	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> A C_ B )
49	48	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. A ) -> m e. B )
50	28	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. B ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
51	49, 50	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. A ) -> [_ m / k ]_ C e. CC )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
53	52	fvmpts 6285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. A /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
54	47, 51, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
55	46, 54	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
56	55	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. B ) -> ( m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
58		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. B /\ -. m e. A ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
61		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( B \ A ) <-> ( m e. B /\ -. m e. A ) )
62	16	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. ( B \ A ) C = 1 )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> A. k e. ( B \ A ) C = 1 )
64	23	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ m / k ]_ C = 1
65	25	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( C = 1 <-> [_ m / k ]_ C = 1 ) )
66	64, 65	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( B \ A ) -> ( A. k e. ( B \ A ) C = 1 -> [_ m / k ]_ C = 1 ) )
67	63, 66	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( B \ A ) ) -> [_ m / k ]_ C = 1 )
68	61, 67	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> [_ m / k ]_ C = 1 )
69	60, 68	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ ( m e. B /\ -. m e. A ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
70	69	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. B ) -> ( -. m e. A -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C ) )
71	57, 70	pm2.61d 170	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
72	10	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = [_ m / k ]_ C )
73	71, 72	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
74	48	ssneld 3605	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( -. m e. B -> -. m e. A ) )
75	74	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ -. m e. B ) -> -. m e. A )
76	75, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
77	30	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ -. m e. B ) -> if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) = 1 )
78	76, 77	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ -. m e. B ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
79	73, 78	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
80	79	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
81	44, 80	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 1 ) )
82	12, 52	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
83	82	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
84	83	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
85	1, 2, 4, 8, 81, 84	zprod 14667	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ) )
86	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
87	43	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) e. CC /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
88	34, 87	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
89		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. B ) -> m e. B )
90		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
91	90	fvmpts 6285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. B /\ [_ m / k ]_ C e. CC ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
92	89, 50, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = [_ m / k ]_ C )
93	92	ifeq1d 4104	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
94	93	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
95		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = 1 )
96	95, 30	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( -. m e. B -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
97	96	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. m e. B ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
98	94, 97	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) = if ( m e. B , [_ m / k ]_ C , 1 ) )
99	88, 98	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 1 ) )
100	21, 90	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
101	100	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
102	101	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
103	1, 2, 4, 86, 99, 102	zprod 14667	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( x. , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. B , C , 1 ) ) ) ) )
104	85, 103	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
105		prodfc 14675	. . 3 |- prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C
106		prodfc 14675	. . 3 |- prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C
107	104, 105, 106	3eqtr3g 2679	. 2 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
108	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> A C_ B )
109	6	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
110		uzf 11690	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
111	110	fdmi 6052	. . . . . . . . . 10 |- dom ZZ>= = ZZ
112	111	eleq2i 2693	. . . . . . . . 9 |- ( M e. dom ZZ>= <-> M e. ZZ )
113		ndmfv 6218	. . . . . . . . 9 |- ( -. M e. dom ZZ>= -> ( ZZ>= ` M ) = (/) )
114	112, 113	sylnbir 321	. . . . . . . 8 |- ( -. M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) = (/) )
115	114	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> ( ZZ>= ` M ) = (/) )
116	109, 115	sseqtrd 3641	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> B C_ (/) )
117	108, 116	sstrd 3613	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> A C_ (/) )
118		ss0 3974	. . . . 5 |- ( A C_ (/) -> A = (/) )
119	117, 118	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> A = (/) )
120		ss0 3974	. . . . 5 |- ( B C_ (/) -> B = (/) )
121	116, 120	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> B = (/) )
122	119, 121	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> A = B )
123	122	prodeq1d 14651	. 2 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
124	107, 123	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  fprodss  14678